צילום: Kevin Schneider, Wikimedia Commons (CC0)

קחו את המספר 6 ורשמו את כל המחלקים שלו, חוץ מהמספר עצמו: 1, 2, 3.

עכשיו חברו אותם: 1 + 2 + 3 = 6. קיבלתם בדיוק את המספר שממנו התחלתם.

נסו שוב עם 28. המחלקים הם 1, 2, 4, 7, 14, והסכום שלהם הוא 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

מספרים כאלה נקראים מספרים מושלמים. היוונים הקדמונים כבר הכירו ארבעה מהם: 6, 28, 496 ו-8128.

ואז נעצרים. המספר המושלם החמישי הוא 33550336 - קפיצה של יותר מארבעה אלפים מונים.

השאלה: איך אפשר לייצר מספרים מושלמים מבלי לבדוק אחד-אחד - ולמה כל המספרים המושלמים שנמצאו אי פעם מסתיימים דווקא בספרה 6 או בספרה 8?

רמז דק

אל תסתכלו על המספרים כפי שהם כתובים. פרקו אותם לגורמים:

6 = 2 × 3, 28 = 4 × 7, 496 = 16 × 31, 8128 = 64 × 127.

שאלו את עצמכם מה משותף לגורם הימני בכל אחת מארבע השורות.

רמז עבה

3, 7, 31 ו-127 הם כולם ראשוניים - וכולם מהצורה 2 בחזקת p פחות 1:

3 = 2² - 1, 7 = 2³ - 1, 31 = 2⁵ - 1, 127 = 2⁷ - 1.

והגורם השני בכל מכפלה הוא בדיוק 2 בחזקת (p-1): 2, 4, 16, 64.

לגבי הספרה האחרונה: זכרו שחזקות של 2 מסתיימות במחזוריות 2, 4, 8, 6 - וכל שאר החישוב הוא רק כפל של שתי ספרות אחרונות.

פתרון

הנוסחה של אוקלידס

עוד לפני יותר מאלפיים שנה הוכיח אוקלידס טענה פשוטה להפליא: אם המספר 2 בחזקת p פחות 1 הוא ראשוני, אז המכפלה

2 בחזקת (p-1) × (2 בחזקת p פחות 1)

היא תמיד מספר מושלם.

הציבו p = 2 ותקבלו 2 × 3 = 6. הציבו p = 3 ותקבלו 4 × 7 = 28. p = 5 נותן 16 × 31 = 496, ו-p = 7 נותן 64 × 127 = 8128. הערך הבא שעובד הוא p = 13, ומכאן הקפיצה הפראית ל-33550336.

אלפיים שנה מאוחר יותר השלים אוילר את התמונה מהכיוון ההפוך והוכיח שכל מספר מושלם זוגי חייב להיראות בדיוק כך. כלומר הרשימה סגורה: מספרים מושלמים זוגיים ומספרים ראשוניים מהצורה 2 בחזקת p פחות 1 (שנקראים ראשוניי מרסן) הם שני צדדים של אותו מטבע.

ולמה תמיד 6 או 8?

כאן החישוב קצר ויפה. p חייב להיות ראשוני, ולכן פרט למקרה p = 2 הוא תמיד אי-זוגי. חזקות של 2 מסתיימות במחזור קבוע: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6...

אם p משאיר שארית 3 בחלוקה ב-4, אז 2 בחזקת (p-1) מסתיים בספרה 4, ו-2 בחזקת p פחות 1 מסתיים בספרה 7. המכפלה מסתיימת כמו 4 × 7 = 28, כלומר בספרה 8.

אם p משאיר שארית 1 בחלוקה ב-4, אז 2 בחזקת (p-1) מסתיים בספרה 6, ו-2 בחזקת p פחות 1 מסתיים בספרה 1. המכפלה מסתיימת כמו 6 × 1 = 6, כלומר בספרה 6.

ואת המקרה p = 2 אנחנו כבר מכירים: 6. אין אפשרות שלישית - ולכן כל מספר מושלם זוגי, גדול ככל שיהיה, נגמר ב-6 או ב-8.

מה עדיין לא ידוע

עד היום מוכרים 52 מספרים מושלמים בלבד, וכולם זוגיים. השאלה אם קיים מספר מושלם אי-זוגי אחד פתוחה כבר יותר מאלפיים שנה, והיא נחשבת לאחת הבעיות הפתוחות הוותיקות במתמטיקה. ידוע שאם קיים כזה, הוא גדול מ-10 בחזקת 1500 - אבל אף אחד לא הצליח להוכיח שהוא לא קיים.