צילום: Kamil Saitov, Wikimedia Commons (CC BY 4.0)

על אי מבודד חיים מאתיים תושבים. למאה מהם עיניים כחולות, ולמאה האחרים עיניים חומות. איש מהם אינו יודע מה צבע עיניו שלו.

באי אין מראות ואין משטח מים משקף, ויש בו טאבו מוחלט: אסור בשום אופן לדבר על צבע עיניים, לרמוז עליו או להתייחס אליו. כל תושב רואה היטב את עיניהם של כל שאר התושבים, אבל אינו יכול לשאול ואינו יכול לספר.

חוק אחד נוסף שולט באי: תושב שמגיע בעצמו למסקנה ודאית לחלוטין שעיניו כחולות, חייב לעזוב באותו לילה בספינה היוצאת בחצות. כולם רואים מי עולה על הספינה.

כל תושבי האי הגיוניים לחלוטין. כל אחד מהם מסיק כל מסקנה שאפשר להסיק, וכל אחד מהם יודע שגם כל האחרים כאלה.

שנים חולפות ואיש אינו עוזב. יום אחד מגיע לאי מבקר זר. הוא מתארח כמה ימים, ולפני שהוא עולה על סירתו הוא אומר בקול רם, לעיני כל התושבים המכונסים: "כמה נעים לראות כאן אדם עם עיניים כחולות."

השאלה: המבקר לכאורה לא חידש דבר - כל תושב באי כבר ראה במו עיניו עשרות אנשים בעלי עיניים כחולות. ובכל זאת, מה קורה באי מאותו רגע ואילך, ומתי בדיוק?

רמז דק

אל תנסו לפתור מיד את המקרה של מאה. התחילו מהמקרה הקטן ביותר: מה היה קורה אילו היה באי תושב אחד בלבד בעל עיניים כחולות, והוא שמע את המשפט?

רמז עבה

עם תושב כחול עיניים אחד: הוא רואה שלכל האחרים עיניים חומות, מבין שהמבקר דיבר עליו, ועוזב באותו לילה.

עם שניים: כל אחד מהם רואה כחול עיניים אחד בלבד, ומצפה שאותו אדם יעזוב בלילה הראשון. כשזה לא קורה, שניהם מבינים מדוע - וכל אחד מהם עוזב בלילה השני.

המשיכו את הרעיון הזה באינדוקציה. שימו לב שהמידע שהמבקר הוסיף אינו העובדה עצמה, אלא משהו אחר לגמרי - העובדה שכולם יודעים שכולם יודעים שכולם יודעים אותה, עד אינסוף.

פתרון

בלילה המאה, כל מאת התושבים בעלי העיניים הכחולות עוזבים את האי יחד. איש מבעלי העיניים החומות אינו עוזב לעולם.

ההוכחה היא באינדוקציה על מספר בעלי העיניים הכחולות, נסמן אותו n.

אם n שווה 1: התושב היחיד בעל העיניים הכחולות רואה שאין באי אף אדם אחר כזה. מכיוון שהמבקר טען שיש כאן לפחות אחד, הוא מסיק שמדובר בו, ועוזב בלילה הראשון.

אם n שווה 2: כל אחד משניהם רואה כחול עיניים אחד. אם עיניי שלי אינן כחולות, חושב כל אחד מהם, האחר נמצא במצב של n שווה 1 ויעזוב הלילה. כשהלילה הראשון עובר ואיש לא עזב, כל אחד מהם מסיק שגם עיניו שלו כחולות - ושניהם עוזבים בלילה השני.

הצעד הכללי: נניח שהטענה נכונה עבור n מינוס אחד. תושב בעל עיניים כחולות רואה n מינוס אחד אנשים כחולי עיניים. אם עיניו שלו אינן כחולות, אותם אנשים היו עוזבים בלילה מספר n מינוס אחד. הם לא עזבו - ולכן הוא מסיק בוודאות שגם עיניו כחולות. באותו לילה, הלילה ה-n, עוזבים כולם בבת אחת.

עם מאה כחולי עיניים, הכול קורה בלילה המאה.

ומה בעצם חידש המבקר?

כאן נמצא הלב של החידה. נכון שכל אחד ידע שיש באי כחולי עיניים. נכון גם שכל אחד ידע שכל אחד יודע זאת. אבל השרשרת הזאת נקטעה בשלב מסוים: לפני דברי המבקר, לא היה נכון ש"כולם יודעים שכולם יודעים שכולם יודעים..." עד עומק של מאה שלבים.

אמירה פומבית לעיני כולם יוצרת מה שמכונה בתורת המשחקים ידע משותף - ידע שכל אחד יודע, יודע שהאחרים יודעים, יודע שהאחרים יודעים שהוא יודע, וכן הלאה ללא הגבלה. בדיוק השכבה החסרה הזאת היא שהפעילה את שרשרת ההיסקים.

ומה עם בעלי העיניים החומות? כל אחד מהם רואה מאה כחולי עיניים, ולכן הוא יודע שאם עיניו שלו חומות יעזבו כולם בלילה המאה, ואילו אם עיניו כחולות יש באי מאה ואחד כחולי עיניים והעזיבה תתרחש רק בלילה המאה ואחד. כשכולם עוזבים בלילה המאה, הוא לומד רק שעיניו אינן כחולות - וזה בדיוק המידע שלא מחייב אותו לעזוב.