מגן דוד הוא אחת הצורות המוכרות ביותר בעולם, ורובנו ראינו אותו אלפי פעמים. ובכל זאת, מעטים יודעים לומר כמה משולשים מסתתרים בו.

הצורה נבנית בפשטות: לוקחים משולש שווה צלעות אחד שקודקודו כלפי מעלה, ומניחים עליו משולש שווה צלעות זהה שקודקודו כלפי מטה. מתקבל הכוכב בעל שישה חודים, ובמרכזו משושה משוכלל.

השאלה: כמה משולשים בסך הכול אפשר למצוא בציור הזה?

שימו לב שאנחנו מחפשים כל משולש שנוצר מהקווים שבציור, בין שהוא קטן ובין שהוא גדול, ולא רק את אלה שקל לראות במבט ראשון.

ואם כבר פתרתם, נסו לענות גם על שאלת ההמשך: כמה מהמשולשים האלה מכילים בתוכם את המשושה המרכזי במלואו?

רמז דק

אל תסתפקו בשני המשולשים הגדולים שמהם בנינו את הצורה. הביטו גם בשישה החודים הקטנים שבולטים החוצה מן המשושה. וכעת שאלו את עצמכם אם יש עוד משולשים שטרם ספרתם.

רמז עבה

ספרו כמה קווים ישרים יש בציור. שני משולשים, שלוש צלעות לכל אחד, ובסך הכול שישה קווים. עכשיו שימו לב לתכונה המפתיעה: כל קו של המשולש העליון מקביל בדיוק לקו אחד של המשולש התחתון. הקווים מתחלקים אפוא לשלוש קבוצות, ובכל קבוצה שני קווים מקבילים. משולש נוצר רק כאשר בוחרים שלושה קווים שאינם מקבילים זה לזה.

פתרון

יש בדיוק שמונה משולשים.

שני המשולשים הגדולים שמהם בנוי הכוכב, ועוד שישה משולשים קטנים, אחד בכל חוד של הכוכב. שניים ועוד שישה, בסך הכול שמונה.

אבל הספירה הזאת מעוררת שאלה: איך אפשר להיות בטוחים שלא פספסנו משולש כלשהו? כאן נכנס הטיעון היפה.

בציור יש שישה קווים ישרים בלבד. שלוש הצלעות של המשולש העליון מצביעות לשלושה כיוונים שונים, ושלוש הצלעות של המשולש התחתון מצביעות בדיוק לאותם שלושה כיוונים. לכן הקווים מתחלקים לשלוש קבוצות של קווים מקבילים, שני קווים בכל קבוצה.

שני קווים מקבילים לעולם אינם נפגשים, ולכן משולש יכול להיווצר רק אם בחרנו קו אחד ויחיד מכל קבוצה. מספר הבחירות האפשריות הוא שתיים כפול שתיים כפול שתיים, כלומר שמונה. אף אחת מהבחירות אינה נותנת שלושה קווים שנחתכים בנקודה אחת, ולכן כל אחת מהן אכן יוצרת משולש.

שמונה בחירות, שמונה משולשים, ואין ולו אחד נוסף. הספירה מלאה ומוכחת.

אם תרצו לראות זאת בעיניים: מבין שמונה הצירופים, שניים משתמשים בשלושת הקווים של אותו משולש גדול, ואלה שני המשולשים הגדולים. ששת הצירופים הנותרים מערבבים קווים משני המשולשים, ואלה בדיוק ששת החודים.

ולשאלת ההמשך: רק שניים. המשושה המרכזי כלוא בין שני המשולשים הגדולים, ורק הם מכילים אותו בשלמותו. ששת החודים הקטנים נמצאים כולם מחוץ למשושה ואינם מכילים ממנו דבר.