צילום: Dori, Wikimedia Commons (CC0)

הניחו על השולחן שני מטבעות זהים לחלוטין - אותו קוטר, אותו היקף.

את המטבע הראשון מקבעים למקומו כך שלא יזוז. את השני מגלגלים סביבו לאורך המסלול, בלי להחליק ובלי לרחף: הם נשארים בנגיעה מתמדת, כמו שני גלגלי שיניים.

מגלגלים עד שהמטבע הנע חוזר בדיוק לנקודת המוצא שלו - הקפה שלמה אחת סביב המטבע הקבוע.

השאלה: כמה סיבובים שלמים השלים המטבע הנע סביב הציר שלו עצמו?

כלומר - כמה פעמים "המלך" שמצויר עליו הסתובב וחזר לעמוד זקוף ביחס לחדר.

רמז דק

התשובה המתבקשת היא סיבוב אחד, וההיגיון שמאחוריה נשמע מוצק: ההיקפים שווים, המטבע התגלגל לאורך היקף שלם - אז הוא הסתובב פעם אחת.

לפני שתמשיכו לקרוא, קחו שני מטבעות אמיתיים מהארנק ובדקו בעצמכם. סמנו נקודה על המטבע הנע וגלגלו אותו סביב השני. התוצאה תפתיע אתכם.

רמז עבה

הסוד הוא שיש כאן שתי מערכות ייחוס שונות, וקל מאוד לבלבל ביניהן.

ביחס לקו הדמיוני שמחבר את מרכזי שני המטבעות, המטבע הנע אכן משלים סיבוב אחד בלבד. אבל הקו הזה עצמו אינו עומד במקום - הוא מסתובב סיבוב שלם סביב המרכז הקבוע במהלך ההקפה.

ואם אתם מעדיפים חישוב במקום דימוי, נסו את הדרך הזאת: אל תסתכלו על נקודת המגע, אלא על מרכז המטבע הנע. איזה מעגל הוא מתאר במהלך ההקפה, ומה הרדיוס שלו ביחס לרדיוס המטבע?

פתרון

התשובה: שני סיבובים.

ההוכחה הקצרה

נסמן את רדיוס כל מטבע ב-r. כאשר המטבע הנע מקיף את הקבוע, הוא נשאר בנגיעה - ולכן המרחק בין שני המרכזים קבוע ושווה תמיד ל-2r.

המשמעות: מרכז המטבע הנע נע על מעגל שרדיוסו 2r, ואורכו 2 פאי כפול 2r, כלומר 4 פאי r.

היקף המטבע עצמו הוא 2 פאי r. מכיוון שהגלגול הוא ללא החלקה, מספר הסיבובים שווה למרחק שעבר המרכז חלקי היקף המטבע:

4 פאי r חלקי 2 פאי r = 2

למה האינטואיציה נכשלת

ההשוואה המטעה היא לגלגול על קו ישר. אם תניחו סרגל באורך 2 פאי r ותגלגלו עליו את המטבע מקצה לקצה - הוא אכן יסתובב בדיוק פעם אחת.

אבל במסלול מעגלי נוסף רכיב שאין בקו ישר: המטבע לא רק מתגלגל, הוא גם מוסע סביב מרכז. ההסעה הזאת בפני עצמה מסובבת אותו סיבוב שלם אחד ביחס לחדר, גם אילו היה מוצמד בדבק ולא מתגלגל כלל. הסיבוב הזה מתווסף לסיבוב הגלגול - ומכאן שניים.

ניסוי מחשבתי שממחיש זאת: דמיינו שהמטבע הנע פשוט מוצמד לזרוע מסתובבת, בלי להתגלגל בכלל. בסוף הקפה שלמה הזרוע חזרה למקומה, והמטבע ביצע סיבוב אחד ביחס לחדר. עכשיו הוסיפו את הגלגול - וקיבלתם שניים.

הכללה

אם המטבע הקבוע גדול יותר ורדיוסו R, ואילו המטבע המתגלגל רדיוסו r, מספר הסיבובים בהקפה חיצונית אחת הוא:

R חלקי r, ועוד 1

עבור שני מטבעות זהים R שווה ל-r, ולכן מקבלים 1 ועוד 1 - שניים. מטבע שמתגלגל סביב מטבע שקוטרו כפול ממנו ישלים שלושה סיבובים, וכן הלאה.

ואם מגלגלים בתוך טבעת מבפנים, הסימן מתהפך והנוסחה היא R חלקי r פחות 1.

לא רק תרגיל בכיתה

ב-1982 המבחן הפסיכומטרי האמריקאי SAT כלל שאלה מסוג זה, וכל חמש התשובות שהוצעו היו שגויות - הנכונה פשוט לא הופיעה ברשימה. שלושה תלמידים שנתקלו בכך התלוננו, הבדיקה הוכיחה שהם צדקו, והציון של כ-300 אלף נבחנים תוקן. התופעה נקראת מאז פרדוקס סיבוב המטבע.