אל תסתכלו על המשבצות. הסתכלו על הקווים.

כמה קווים אופקיים עוברים על הלוח מקצה לקצה? וכמה אנכיים?

לוח של 8 שורות מוגדר על ידי 9 קווים אופקיים, ולוח של 8 עמודות מוגדר על ידי 9 קווים אנכיים.

כל מלבן נקבע באופן חד-חד-ערכי על ידי בחירה של שני קווים אופקיים (הגבול העליון והתחתון) ושני קווים אנכיים (הגבול הימני והשמאלי).

אז השאלה האמיתית היא: בכמה דרכים בוחרים 2 קווים מתוך 9? ומה עושים עם שתי הבחירות יחד?

הרעיון: כל מלבן שקול בדיוק לבחירה של שני קווים אופקיים ושני קווים אנכיים. שני הקווים האופקיים קובעים את הגובה, ושני האנכיים את הרוחב - וכל בחירה כזאת מייצרת מלבן אחד ויחיד.

בלוח 8 על 8 יש 9 קווים אופקיים ו-9 קווים אנכיים.

מספר הדרכים לבחור 2 קווים מתוך 9 הוא 9 כפול 8 חלקי 2, כלומר 36.

אותו חישוב חוזר גם בכיוון השני, ולכן סך המלבנים הוא 36 כפול 36:

1296 מלבנים.

ומה עם הריבועים בלבד? ריבועים בגודל 1 על 1 יש 64, בגודל 2 על 2 יש 49, בגודל 3 על 3 יש 36, וכן הלאה: 25, 16, 9, 4 ו-1 - סך הכול 204 ריבועים.

מכאן שמספר המלבנים שאינם ריבועים הוא 1296 פחות 204, כלומר 1092.

הנוסחה הכללית ללוח בגודל n על n היא פשוט הריבוע של מספר הדרכים לבחור שני קווים מתוך n+1. עבור לוח 3 על 3, למשל, מתקבלים 6 כפול 6, שהם 36 מלבנים - ואת זה כבר אפשר לספור ביד ולוודא.

המסקנה הכללית שכדאי לקחת מכאן: כשקשה לספור צורות, לעתים קל בהרבה לספור את הבחירות שמייצרות אותן.