צילום: Abu Shawka, Wikimedia Commons (CC0)

נזיר יוצא עם עלות השחר, בשעה שש בבוקר, מרגלי ההר ומתחיל לטפס בשביל צר אחד שמוביל אל המנזר שבפסגה.

הוא אינו ממהר. לפעמים הוא מזדרז, לפעמים הוא נגרר, פעמיים הוא עוצר לנוח שעה שלמה, ופעם אחת הוא אפילו חוזר כמה מטרים לאחור כדי להביט בנוף. בשעה שש בערב הוא מגיע לפסגה ולן שם.

למחרת בבוקר, שוב בשעה שש בדיוק, הוא יוצא מהפסגה ומתחיל לרדת באותו שביל עצמו. גם הירידה אינה אחידה: הוא עוצר, מאיץ, נח, ובשעה שש בערב הוא מגיע לרגלי ההר.

ועכשיו הטענה:

קיימת נקודה אחת לפחות על השביל, שבה הנזיר נמצא בעלייה ובירידה באותה שעה בדיוק ביום.

השאלה: האם הטענה נכונה תמיד - וכיצד אפשר להשתכנע בכך בלי שום חישוב?

רמז דק

אל תנסו לחשב מהירויות. אין לכם נתונים על המהירות, ובכוונה - הפתרון לא זקוק להם.

במקום זה נסו לצייר: ציר אופקי לזמן משש בבוקר עד שש בערב, ציר אנכי לגובה על השביל. שרטטו את מסלול העלייה, ואז שרטטו על אותו שרטוט את מסלול הירידה.

רמז עבה

הצעד המכריע הוא לוותר על שני הימים.

דמיינו שכל זה קורה ביום אחד: נזיר אחד יוצא בשש בבוקר מלמטה ומטפס, ובאותו רגע בדיוק נזיר שני יוצא בשש בבוקר מהפסגה ויורד. שניהם על אותו שביל צר, ושניהם מסיימים בשש בערב.

מה חייב לקרות ביניהם?

פתרון

הטענה נכונה תמיד - והנימוק הוא משפט אחד.

נניח ששני המסעות מתרחשים באותו יום: נזיר העולה ונזיר היורד, שניהם על אותו שביל צר, שניהם יוצאים בשש בבוקר ומגיעים בשש בערב.

הם נעים זה מול זה על שביל אחד. הם חייבים להיפגש. אין דרך אחרת - כדי שהאחד יעבור מלמטה למעלה והשני מלמעלה למטה, בשלב כלשהו הם עומדים באותה נקודה.

השעה שבה הם נפגשים והמקום שבו הם נפגשים - זו בדיוק הנקודה שחיפשנו. אין זה משנה כלל כמה עצירות היו, כמה נסיגות לאחור או כמה שינויי קצב.

אותו דבר בשפה מתמטית

נסמן ב-f(t) את המרחק של הנזיר מרגלי ההר בעלייה בזמן t, וב-g(t) את מרחקו בירידה באותו זמן. שתי הפונקציות רציפות - אדם אינו מתנייד בקפיצות.

נביט בהפרש h(t) = f(t) - g(t). בשש בבוקר: f=0 ו-g הוא אורך השביל המלא, ולכן h שלילי. בשש בערב המצב מתהפך בדיוק, ולכן h חיובי.

פונקציה רציפה שעוברת משלילי לחיובי חייבת להתאפס בדרך. זהו משפט ערך הביניים. הנקודה שבה h מתאפסת היא הרגע שבו f=g - אותה נקודה, אותה שעה.

מאיפה החידה הזאת הגיעה

החידה מיוחסת לפסיכולוג הגרמני קרל דונקר, שהציג אותה בשנת 1945 בספרו על פתרון בעיות. דונקר לא התעניין בהר אלא במוח: הוא השתמש בה כדי להדגים מה קורה כשאדם נתקע בייצוג לא נכון של הבעיה.

מי שמחזיק בראש "יום ראשון ואחריו יום שני" נידון להיאבק בחישובים. מי שמצליח להניח את שני הימים זה על גבי זה רואה את התשובה בשנייה אחת. זהו אותו רעיון בדיוק, רק בייצוג אחר - וכל ההבדל בין בעיה בלתי פתירה לבעיה טריוויאלית טמון בייצוג.

ולסיום, שאלה להמשך

האם הנקודה הזאת יחידה? התשובה: לא בהכרח. אם הנזיר חוזר לאחור בדרכו, ייתכנו כמה נקודות מפגש. מה שהוכחנו הוא שיש לפחות אחת - וזה כל מה שנדרש.