צילום: NASA / צוות אפולו 17 (נחלת הכלל)

דמיינו חבל ענק שמקיף את כדור הארץ לאורך קו המשווה, צמוד לקרקע בכל נקודה ונקודה. אורכו כ-40,075 קילומטרים.

עכשיו חותכים את החבל, מוסיפים לו בדיוק מטר אחד, ומחברים אותו מחדש. אחר כך מסדרים אותו כך שירחף במרחק אחיד מהקרקע לאורך כל ההיקף.

לכמה גובה הוא יתרומם?

א. פחות מעובי שערה - כמעט בלתי נמדד.
ב. כמה מילימטרים בודדים.
ג. בערך 16 סנטימטרים.
ד. כמה מטרים טובים.

רוב האנשים בוחרים באפשרות א' בלי להסס. מטר אחד מול ארבעים אלף קילומטר נשמע כמו טיפה בים.

השאלה: מה התשובה הנכונה - ולמה האינטואיציה כל כך מטעה כאן?

רמז דק

אל תנסו לחשב עם 40,075 קילומטר. המספר הזה בכלל לא יעזור לכם.

במקום זה, כתבו את הנוסחה שמקשרת בין היקף מעגל לרדיוס שלו - ובדקו מה קורה לרדיוס כשההיקף גדל.

רמז עבה

ההיקף הוא C = 2πR, ולכן הרדיוס הוא R = C ÷ 2π.

אם ההיקף גדל ב-1, בכמה גדל הרדיוס? שימו לב מה לא מופיע בתשובה.

פתרון

התשובה הנכונה היא ג': כ-16 סנטימטרים. ליתר דיוק, 15.9 סנטימטרים.

החישוב

הרדיוס הוא R = C ÷ 2π. אם ההיקף גדל מ-C ל-C + 1, הרדיוס החדש הוא (C + 1) ÷ 2π.

ההפרש בין השניים הוא:

(C + 1) ÷ 2π - C ÷ 2π = 1 ÷ 2π ≈ 0.159 מטר

כלומר כ-15.9 סנטימטרים - מספיק כדי שחתול יעבור מתחת לחבל בנוחות.

וכאן ההפתעה האמיתית

שימו לב שהאות C נעלמה מהחישוב. הרדיוס המקורי לא משפיע בכלל.

אם תעשו את אותו תרגיל עם כדור טניס, עם כדורגל, עם השמש או עם גלקסיה שלמה - כל עוד תוסיפו מטר אחד להיקף, החבל יתרומם בדיוק באותם 15.9 סנטימטרים.

למה האינטואיציה נכשלת

המוח שלנו מתרגם את השאלה אוטומטית ליחס: מטר אחד חלקי ארבעים אלף קילומטר זה יחס זעום, ולכן ההשפעה צריכה להיות זעומה.

אבל הקשר בין היקף לרדיוס אינו יחסי - הוא ליניארי עם שיפוע קבוע של 1 חלקי 2π. התוספת לרדיוס תלויה אך ורק בתוספת להיקף, ולא בגודל המקורי. אנחנו פשוט לא רגילים לחשוב כך.

וריאציה שהופכת את זה למוזר עוד יותר

מה יקרה אם במקום להרים את החבל באופן אחיד, נמשוך אותו כלפי מעלה בנקודה אחת בלבד, וכל השאר יישאר צמוד לקרקע?

במקרה הזה הנקודה שנמשכת מתרוממת לגובה של יותר ממאה מטרים - כ-120 מטר בקירוב. אותו מטר בודד, שתי דרכים שונות לפזר אותו, ושני מספרים שאין ביניהם שום קשר אינטואיטיבי.