צילום: Peter Cooper Jr., Wikimedia Commons (CC0)

סדרו עשרה מטבעות - או עשרה פינים, או עשר גולות - במשולש צפוף, בדיוק כמו סידור הפינים בקצה מסלול באולינג.

בשורה העליונה פריט אחד. מתחתיו שניים. מתחתם שלושה. ובשורה התחתונה ארבעה. סך הכול עשרה, והמשולש מצביע כלפי מעלה.

המשימה: להפוך את המשולש על ראשו. בסיום צריך להתקבל משולש זהה לחלוטין בצורתו ובגודלו, אבל הפוך - שורה של ארבעה למעלה, ומתחתיה שלושה, שניים, ואחד בתחתית.

מותר להעביר פריטים לכל מקום, אבל כל פריט שנוגעים בו נספר כהזזה.

השאלה: מה מספר ההזזות המזערי הדרוש - ואילו פריטים בדיוק צריך להזיז?

רמז דק

אל תנסו לבנות את המשולש החדש מאפס. שאלו במקום זאת שאלה הפוכה: כמה פריטים כבר עומדים במקום הנכון עוד לפני שנגעתם במשהו?

רמז עבה

ציירו על נייר את המשולש המקורי, ומעליו בעיפרון אחר את המשולש ההפוך - כך שהחפיפה ביניהם תהיה מרבית. תגלו שהמשולש ההפוך יושב נמוך יותר בשורה אחת, ושצורת החיתוך של השניים היא מגן דוד. מה שבולט החוצה מהחפיפה הן בדיוק שלוש הפינות.

פתרון

שלוש הזזות בלבד - ואלו הן שלוש הפינות של המשולש.

נסמן את השורות מלמעלה למטה: שורה 1 (פריט אחד), שורה 2 (שניים), שורה 3 (שלושה), שורה 4 (ארבעה).

המשולש ההפוך שאותו נרצה לקבל תופס את שורות 2 עד 5: ארבעה פריטים בשורה 2, שלושה בשורה 3, שניים בשורה 4, ואחד בשורה 5 חדשה שתיפתח מתחת לכול.

עכשיו נשווה בין המצב הקיים למצב הרצוי:

שורה 2 מכילה כרגע שני פריטים - שניהם עומדים בדיוק במקומם בשורה העליונה החדשה. חסרים לה רק שני פריטים, אחד בכל קצה.

שורה 3 מכילה שלושה פריטים - כולם במקומם המדויק. אין מה לשנות.

שורה 4 מכילה ארבעה, אך במשולש ההפוך צריכים להישאר בה רק השניים האמצעיים. שתי הפינות התחתונות מיותרות.

שורה 5 ריקה לחלוטין, וצריך בה פריט אחד.

מכאן הפתרון מתגלה מעצמו:

1. מזיזים את הפריט העליון - קודקוד המשולש - אל מתחת לשורה התחתונה. הוא הופך לקודקוד החדש.

2. מזיזים את הפינה השמאלית של השורה התחתונה אל שמאל השורה השנייה.

3. מזיזים את הפינה הימנית של השורה התחתונה אל ימין השורה השנייה.

שבעה פריטים לא זזו כלל. רק שלוש הפינות החליפו מקום.

למה אי אפשר בפחות משלוש

שני המשולשים חופפים ב-7 עמדות בלבד מתוך 10. נותרות אפוא שלוש עמדות מקוריות שאינן שייכות למשולש היעד, ושלוש עמדות יעד שאינן מאוכלסות. כל הזזה מפנה לכל היותר עמדה מיותרת אחת וממלאת לכל היותר עמדה חסרה אחת - ולכן שלוש הזזות הן גם הכרחיות וגם מספיקות.

שווה לנסות בפועל: רוב האנשים שמנסים בלי לצייר מתחילים להזיז ארבעה או חמישה פריטים. הקיצור נובע כולו משינוי נקודת המבט - מהמעבר מהשאלה "מה לבנות" לשאלה "מה כבר במקום".