תפוס או לא???

file000979015931taxiמאה אנשים קנו כרטיסים עם מקומות ישיבה מסומנים באולם המכיל 100 מקומות. הראשון שנכנס לאולם איבד את הכרטיס בשירותים והוא מתיישב אקראית באחד מ-100 המקומות. השני מתיישב במקום שלו אבל אם תפוס, מתיישב אקראית באחדמ-99 המקומות הנותרים. כך עושה כל אחד מהנכנסים: אם המקום הרשום בכרטיס פנוי, אזי מתיישב ואם לא פנוי, בוחר אקראית מקום מבין המקומות הפנויים. מה ההסתברות שהאחרון שיכנס לאולם (האדם ה-100), ישב במקום שלו?

 


המספר מאה נועד להקשות וליצור אווירה של מספרים גדולים ,אבל אפשר להתחיל

ולבדוק מה הסיכויים כאששר יש 2, 3 אנשים, לעבור ל4 אנשים ולנסות ליצור הכללה...

הוספת תגובה

תגובות (18)

  • אושר

    אל תנסו להתחכם תחשבו הגיוני הסיכוי שהוא ישב במקום שלו הוא 1 למאה

    כתובת URL מקוצרת:
  • אמיר

    הסבר: ניתן להתחיל מ 2 אנשים 3 אנשים וכו ולבדוק מה מס' האפשרויות הטובות( האדם האחרון ימצא את מקומו ) ונקבל שתמיד מחצית מהאפשרויות טובות כלומר ההסתברות 1/2.
    אבל ניתן גם לנתח את ההסתברות ( וזה קצת יותר מעניין):
    אם הצופה הראשון שאיבד את מקומו בוחר באקראי במקומו שלו אזי כל הצופים כולל האחרון ימצאו את מקומם.
    ברם, אם הצופה הראשון תופס את מקומו של צופה אחר אזי כדי שהצופה האחרון ימצא את מקומו נדרש שבשלב כלשהו בתהליך כניסת האנשים לאולם תהייה הסדרה של המקומות, כלומר, בשלב כלשהו בתהליך כניסת האנשים יכנס לאולם האדם שמקומו תפוס באותו רגע (מנתוני השאלה ברור שבכל שלב קיים לכל היותר אדם אחד הנמצא מחוץ לאולם שמקומו תפוס), ויבחר באקראי את מקומו של הצופה הראשון ובכך יסדיר את המקומות ומאותו רגע כל האנשים בחוץ כל האחרון שבהם ימצאו את מקומם.
    הסדרת המקומות עשוי להתרחש בכל שלב בתהליך כלומר בכל כניסה של אדם נוסף. ולכן ההסתברות שהאדם האחרון ימצא את מקומו הנה חיבור של הסתברויות להסדרת המקומות בכל אחת מכניסות האנשים:
    א.הסדרה בכניסה הראשונה - ההסתברות שהצופה הראשון ( שאיבד את
    כרטיסו ) יבחר באקראי במקומו הנכון.
    ב.הסדרה בכניסה השניה - ההסתברות שלא תהייה הסדרה בכניסה הראשונה (הצופה הראשון תפס מקום של צופה אחר), אבל הצופה שמקומו
    נתפס יכנס לאולם ויבחר במקומו של הצופה הראשון
    ג.הסדרה בכניסה השלישית - ההסתברות שלא תהייה הסדרה בכניסה הראשונה והשניה , אבל בכניסה השלישית יכנס הצופה שמקומו תפוס ויבחר במקומו של הצופה הראשון...
    ....וכן הלאה עד כניסתו של האדם הלפני האחרון ( כאשר ישארו 2 אנשים אחד שמקומו פנוי ואחד שמקומו תפןס ) שזו האפשרות האחרונה להסדרה במידה ויכנס הצופה שמקומו תפוס ויבחר באקראי במקומו של הצופה הראשון, כך שהצופה האחרון שיכנס ימצא את מקומו..
    עתה נחשב את ההסתברויות שנדרש לחבר:
    א. 1/100 ( הצופה הראשון יבחר במקומו הנכון) +
    ב. 99/100* 1/99*1/99 = 1/99-1/100 (הצופה הראשון יבחר במקום של צופה אחר,אבל יכנס הצופה שמקומו נתפס ויבחר במקומו של הצופה הראשון )+
    ג.99/100*9800/9801*1/98*1/98 = 1/98-1/99 +
    ד.1/97-1/98+
    ה.1/96-1/97+
    וכן הלאה עד:.... +....+ 1/5-1/6 + 1/4-1/5 + 1/3-1/4 + 1/2-1/3

    וכך יוצא שכל האיברים בסדרת ההסתברויות מתבטלים זה עם זה ונשאר רק האיבר האחרון 1/2. ולכן ההסתברות תמיד תהייה 1/2 ללא קשר למס' הצופים.( המספר 100 הנו שרירותי וניתן להוכיח עבור כל מספר n).

    כתובת URL מקוצרת:
  • מרק דניאל

    זה מאוד פשוט יוסי וסעיד
    עם לא הבנתם:
    50%=1/2

    כתובת URL מקוצרת:
  • אלי

    אין קשר למה שקרה לכל אורך הדרך.
    נסתכל רגע לפני שהבחור האחרון נכנס
    כל האולם מלא למעט שני מקומות ישיבה אחרונים.
    (אין סיכוי ששני המקומות לא מתאימים לאחד משניהם.(אחרת מישהו נוסף הפר את הכללים)
    נכנס האיש הלפני אחרון ובוחר (באקראי) מקום משני המקומות הפנויים
    יש שתי אפשרויות למקרה זה או שזה המקום שלו או לא
    ולכן הסיכוי הוא 50%. כלומר חצי

    כתובת URL מקוצרת:
  • יוסי סימון

    שדרוג החידה תפוס או לא?
    התאהבתי בחידה ואני מציע לשדרג אותה.
    כזכור פתרון החידה המקורית הוא 1/2 .
    פתרון החידה המשודרגת הוא 1/3 . (מזכיר טור הרמוני)
    ניסוח החידה (דימוי לאנטי חומר)
    מהי החידה המשודרגת תפוס או לא? שפתרונה הוא 1/3 .
    רמז
    ניתן לחוד משתי/משני הצדדים.
    בברכה!
    יוסי סימון

    כתובת URL מקוצרת:
  • סעיד

    אם מישהו ישב במקום 1 אז 100 ישב במקום 100
    ואם מישהו ישב במקום 100 אז 100 ישב במקום 1
    זה שתי אפשרויות יחידות ולכל אחד אותו סיכוי שהוא חצי
    ל 1 יש סיכוי 1/100 לשבת על 1 או 100
    ל5 סיכוי 1/96 לשבת על 1 או 100
    ל90 1/11 לשבת על 1 או 100
    תמיד שווה
    אז מחלקים 100% על 2 שווה 50%

    כתובת URL מקוצרת:
  • יוסי סימון

    שלום סעיד!
    אסביר לך בצורה מאד פשוטה מדוע ההסתברות היא בדיוק חצי.
    הבה נתבונן רק על שני הכיסאות של הנכנס הראשון והאחרון.
    ברגע שמי שהוא יתיישב כאן או שם אזי נחרץ גורלו של האחרון היכן ישב. (כאשר מי שהוא ישב בכסאו של הראשון אזי כל הנכנסים לאחריו כולל אחרון ישבו בכיסאות שלהם)
    בכל שלב ההסתברות הוא חצי.
    תנסה להבין את תגובתי המפורטת למעלה . מחידה זאת ניתן להפיק תובנות שונות.
    שיהיה לך שבוע טוב!
    בברכה!
    יוסי סימון

    כתובת URL מקוצרת:
  • סעיד

    בסופ ישאר 1 או 100 עם אותו סיכוי (1/2)

    כתובת URL מקוצרת:
  • סעיד

    התשובה חצי נכונה רק בתנאי אחד והוא שהראשון ישב במקום מספר 99, ולכן באמת התשובה 0.5 . ומה אם ישב במקום 98 אז הסיכוי פחות ואם ישב במקום 97 הסיכוי עוד יותר קלוש עד שנגיע לסיכוי אפסי. לכן התשובה הנכונה לדעתי היא 0.01

    כתובת URL מקוצרת:
  • סעיד

    -----------------------1%------------------------------------

    כתובת URL מקוצרת:
טען עוד



חדשות ועדכונים

המטייל התלונן שהכלבה נשכה אותו. ביהמ"ש מנע את שליחתה לה...
המטייל התלונן שהכלבה נשכה אותו, למרות שאיש לא הבחין בכך, והכלבה נשלחה להסגר. בעליה עתרו למחוזי – אשר מנע את ההסגר. עוה"ד זבולון-נוה העוסקת בזכויות...
תערוכה חדשה ברובע היהודי בירושלים ב יום העצמאות 2.5 הכניסה ל...
 חוגגים את יום העצמאות לשנת 2017 ברובע היהודי בירושליים - לגעת ברגע - סמלים מעצבים זיכרון. החברה לשיקום ופיתוח הרובע היהודי בירושלים חוגגת 50 שנה...
מתנחלים זרקו אבנים על פעילות מחסום watch
מתנחלים תקפו פעילות של מחסום watch - מתנחלים זרקו מטר של אבנים גדולות על פעילות ארגון מחסום Watch קרול קוק, ד"ר ריבה בכרך ופתחיה...
אנשים עם מוגבלות לא ישתתפו בטקסי יום הזיכרון ואירועי עצמאות ...
כ- 1,600,000 אנשים עם מוגבלות בישראל ממודרים מטקסי יום הזיכרון ואירועי יום העצמאות מאחר ורשויות מקומיות עוברות על החוק ואינן מפרסמות מידע מסייע...
המדריך לשימוש במכונת פוליש לחידוש הפרגולות בגינה
האביב הגיע וזו שעה נהדרת לצאת למרפסת ולהנות מהשמש האביבית לפני שהחום של יולי אוגוסט מגיע ואז לא נרצה לעזוב את המזגן אלא...
מבשלים ביחד
עבור אנשים רבים, בישול והכנת ארוחות זה בילוי של ממש ולא רק משימה יומיומית הכרחית. החשיבה על מתכונים חדשים, קניית המצרכים וחומרי הגלם,...