צילום: Jules Verne Times Two, Wikimedia Commons (CC BY-SA 4.0)
על מקל דק וישר באורך מטר אחד בדיוק מונחות עשרים וחמש נמלים. המיקום של כל נמלה על המקל שרירותי לחלוטין, וגם הכיוון שאליו היא פונה - ימינה או שמאלה - שרירותי. ברגע נתון כולן מתחילות ללכת בו-זמנית, וכל נמלה הולכת במהירות קבועה של סנטימטר אחד בשנייה.
שני חוקים בלבד שולטים במה שקורה מכאן. ראשית, כששתי נמלים נפגשות פנים אל פנים, שתיהן מסתובבות מיד באתר וממשיכות ללכת בכיוון ההפוך - בלי לאבד אפילו רגע. שנית, נמלה שמגיעה אל אחד מקצות המקל נופלת ממנו ויוצאת מן המשחק.
המצב נראה מסובך להחריד. עשרים וחמש נמלים, עשרות התנגשויות אפשריות, וכל התנגשות משנה את מסלולן של שתי נמלים בבת אחת. נדמה שכדי לדעת מתי המקל יתרוקן צריך לדעת בדיוק היכן כל נמלה עומדת ולאן היא פונה.
השאלה: מהו הזמן הארוך ביותר שיכול לחלוף עד שהמקל יתרוקן לחלוטין, בהינתן הסידור הגרוע ביותר האפשרי? ולמה התשובה אינה תלויה כלל במספר הנמלים?
שאלו את עצמכם שאלה אחת: מה בדיוק היה משתנה בתמונה אילו הנמלים היו שקופות זו לזו, ובמקום להתנגש היו פשוט ממשיכות ישר?
התבוננו ברגע ההתנגשות מקרוב. שתי נמלים מגיעות לנקודה אחת ומיד יוצאות ממנה בכיוונים מנוגדים - נמלה אחת ממשיכה ימינה, השנייה שמאלה. אם במקום להסתובב הן היו עוברות זו דרך זו, התמונה של "מי נמצא באיזו נקודה" הייתה זהה לחלוטין. ההבדל היחיד הוא בשמות שהדבקנו לגופים הזעירים.
ומכיוון שאיש לא שאל אותנו איזו נמלה תיפול מאיזה קצה, אלא רק מתי המקל יתרוקן, הזהות איננה מעניינת אותנו כלל.
התשובה: מאה שניות.
הנימוק: אם נחליף כל התנגשות במעבר דרך, כל נמלה נעה בקו ישר במהירות קבועה עד שהיא נופלת מן הקצה שאליו פנתה מלכתחילה. הדרך הארוכה ביותר שנמלה בודדת יכולה לעבור היא כל אורך המקל - מאה סנטימטרים - וזה קורה כשהיא מתחילה בקצה אחד ופונה אל הקצה הנגדי. במהירות של סנטימטר בשנייה מדובר במאה שניות בדיוק.
המקרה הגרוע ביותר אכן מושג: הניחו נמלה אחת בקצה השמאלי כשפניה ימינה. בין אם היא תתנגש בדרך ובין אם לא, כעבור מאה שניות המקל בהכרח ריק.
ולמה המספר 25 אינו מופיע בתשובה: המסלולים ה"שקופים" אינם תלויים זה בזה כלל. אפשר להניח על המקל עשר נמלים, אלף נמלים או מיליון - כל אחת מהן נופלת לכל היותר כעבור מאה שניות, ולכן גם כל האוסף מתרוקן בתוך מאה שניות. תוספת נמלים מוסיפה התנגשויות, אך אינה מוסיפה ולו שנייה אחת לזמן הכולל.
ההערה החשובה: הטריק עובד רק מפני שכל הנמלים נעות באותה מהירות בדיוק. אילו הייתה אחת מהן מהירה מן האחרות, החלפת הזהויות לא הייתה שקולה למעבר דרך, והבעיה הייתה נעשית קשה בהרבה.
תגובות
- לא נמצאו תגובות
Post comment as a guest