אל תנסו מספר אחרי מספר - זה מסלול ללא מוצא. במקום זה תנו שם לדברים.

נניח שהסכום מתחיל במספר a וכולל k איברים עוקבים. כתבו נוסחה כללית לסכום הזה, והפכו אותה למשוואה שהמספר שלנו חייב לקיים.

הסכום של k מספרים עוקבים שמתחילים ב-a הוא k · (2a + k - 1) חלקי 2.

כלומר, אם N הוא המספר שלנו, אז 2N = k · (2a + k - 1).

עכשיו בדקו את הזוגיות של שני הגורמים k ו-(2a + k - 1). האם הם יכולים להיות שניהם זוגיים? שניהם אי-זוגיים? מה זה מכריח לגבי N?

התשובה: בדיוק חזקות של 2 - כלומר 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 וכן הלאה - אינן ניתנות לכתיבה כסכום של מספרים עוקבים. כל שאר המספרים כן ניתנים.

מדוע חזקה של 2 לעולם לא תצליח

נסמן ב-N את המספר, ונניח שהוא סכום של k איברים עוקבים שמתחילים ב-a, כאשר k גדול או שווה ל-2 ו-a גדול או שווה ל-1. אז מתקיים:

2N = k · (2a + k - 1)

נתבונן בשני הגורמים באגף ימין. אם k זוגי, אז k - 1 אי-זוגי ולכן 2a + k - 1 אי-זוגי. ואם k אי-זוגי, אז 2a + k - 1 זוגי. כלומר בדיוק אחד משני הגורמים הוא אי-זוגי - תמיד.

מלבד זאת שני הגורמים גדולים מ-1: הראשון משום ש-k גדול או שווה ל-2, והשני משום ש-2a + k - 1 גדול או שווה ל-k + 1.

מכאן ש-2N מתחלק במספר אי-זוגי הגדול מ-1, ולכן גם ל-N יש מחלק אי-זוגי הגדול מ-1. אבל לחזקה של 2 אין שום מחלק אי-זוגי מלבד 1 - ולכן היא לעולם לא תוכל להיכתב כסכום כזה.

ומדוע כל שאר המספרים כן מצליחים

אם ל-N יש מחלק אי-זוגי m הגדול מ-1, נכתוב N = m · q. עכשיו יש שני מקרים, ובשניהם קיים פירוק:

אם q גדול מ-(m-1)/2 - קחו את m המספרים העוקבים שממורכזים סביב q. סכומם הוא בדיוק m · q, כלומר N.

אחרת - קחו 2q מספרים עוקבים שמתחילים ב-(m+1)/2 - q. חישוב קצר מראה שגם סכומם הוא בדיוק N.

דוגמאות: 12 = 3 · 4, ולכן 12 = 3 + 4 + 5. וכן 100 = 5 · 20, ולכן 100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22.

בונוס יפה במיוחד

מספר הדרכים השונות לכתוב את N כסכום של מספרים עוקבים שווה בדיוק למספר המחלקים האי-זוגיים של N הגדולים מ-1.

ל-15 יש שלושה מחלקים כאלה - 3, 5 ו-15 - ואכן ראינו בפתיחה בדיוק שלושה פירוקים שונים.