הביטו בלוח שחמט רגיל: ריבוע גדול המחולק לשמונה שורות ושמונה עמודות, כלומר 64 משבצות.

אנחנו מחפשים הפעם לא משבצות ולא ריבועים, אלא מלבנים - כל מלבן שצלעותיו מונחות על קווי הרשת של הלוח.

מלבן כזה יכול להיות ברוחב משבצת אחת ובאורך שבע, או בגודל 3 על 5, או הלוח כולו. גם ריבוע הוא מלבן לכל דבר, ולכן הוא נספר.

כמה מלבנים כאלה יש בלוח שחמט 8 על 8?

לספור אחד אחד זה מסלול ארוך ובטוח לטעות. יש דרך אלגנטית שפותרת את הכול בשורה אחת.

רמז דק

אל תסתכלו על המשבצות. הסתכלו על הקווים.

כמה קווים אופקיים עוברים על הלוח מקצה לקצה? וכמה אנכיים?

רמז עבה

לוח של 8 שורות מוגדר על ידי 9 קווים אופקיים, ולוח של 8 עמודות מוגדר על ידי 9 קווים אנכיים.

כל מלבן נקבע באופן חד-חד-ערכי על ידי בחירה של שני קווים אופקיים (הגבול העליון והתחתון) ושני קווים אנכיים (הגבול הימני והשמאלי).

אז השאלה האמיתית היא: בכמה דרכים בוחרים 2 קווים מתוך 9? ומה עושים עם שתי הבחירות יחד?

פתרון

הרעיון: כל מלבן שקול בדיוק לבחירה של שני קווים אופקיים ושני קווים אנכיים. שני הקווים האופקיים קובעים את הגובה, ושני האנכיים את הרוחב - וכל בחירה כזאת מייצרת מלבן אחד ויחיד.

בלוח 8 על 8 יש 9 קווים אופקיים ו-9 קווים אנכיים.

מספר הדרכים לבחור 2 קווים מתוך 9 הוא 9 כפול 8 חלקי 2, כלומר 36.

אותו חישוב חוזר גם בכיוון השני, ולכן סך המלבנים הוא 36 כפול 36:

1296 מלבנים.

ומה עם הריבועים בלבד? ריבועים בגודל 1 על 1 יש 64, בגודל 2 על 2 יש 49, בגודל 3 על 3 יש 36, וכן הלאה: 25, 16, 9, 4 ו-1 - סך הכול 204 ריבועים.

מכאן שמספר המלבנים שאינם ריבועים הוא 1296 פחות 204, כלומר 1092.

הנוסחה הכללית ללוח בגודל n על n היא פשוט הריבוע של מספר הדרכים לבחור שני קווים מתוך n+1. עבור לוח 3 על 3, למשל, מתקבלים 6 כפול 6, שהם 36 מלבנים - ואת זה כבר אפשר לספור ביד ולוודא.

המסקנה הכללית שכדאי לקחת מכאן: כשקשה לספור צורות, לעתים קל בהרבה לספור את הבחירות שמייצרות אותן.