קל יותר לחשב את המאורע המשלים. במקום לשאול מה הסיכוי שאף מכתב לא קלע ליעדו, שאלו מה הסיכוי שלפחות מכתב אחד קלע ליעדו - ואז החסירו מ-1.

כדי לחשב לפחות אחד משתמשים בעקרון ההכלה וההדחה: מחברים את המקרים שבהם מכתב מסוים קלע, מחסירים את הכפילויות של הזוגות, מוסיפים בחזרה שלשות, וכן הלאה לסירוגין.

יש 5! = 120 דרכים לחלק את חמשת המכתבים לחמש המעטפות.

אחרי הכלה והדחה מתקבלת נוסחה יפה במיוחד. ההסתברות שאף מכתב לא יגיע ליעדו שווה לסכום המתחלף:

1 פחות 1/1! ועוד 1/2! פחות 1/3! ועוד 1/4! פחות 1/5!

וזה בדיוק הטור המפורסם שממנו בנוי המספר e - ומכאן נובעת ההפתעה שבסוף.

סידור שבו שום פריט אינו נמצא במקומו המקורי נקרא אי-סדר (Derangement), ומספר האי-סדרים של n פריטים מסומן D(n).

בעזרת עקרון ההכלה וההדחה מתקבלת הנוסחה:

D(n) = n! · (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... ± 1/n!)

עבור n = 5 מקבלים:

D(5) = 120 · (1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120) = 120 · 44/120 = 44

מספר הסידורים האפשריים בכלל הוא 5! = 120, ולכן:

ההסתברות = 44 חלקי 120 = 11/30, כלומר כ-36.7 אחוזים.

אפשר גם לספור ידנית בערכים קטנים ולהשתכנע: D(1) = 0, D(2) = 1, D(3) = 2, D(4) = 9, D(5) = 44.

ועכשיו ההפתעה - התשובה לשאלה השנייה.

הביטוי בסוגריים הוא בדיוק ההתחלה של הטור המפורסם של אוילר עבור 1 חלקי e. והטור הזה מתכנס במהירות מסחררת.

המשמעות: ההסתברות כמעט אינה תלויה במספר המכתבים. עבור 5 מכתבים היא 36.667 אחוזים, עבור 6 מכתבים היא 36.806 אחוזים, ועבור אלף מכתבים היא 36.7879 אחוזים - זהה ל-1 חלקי e עד עשרות ספרות אחרי הנקודה.

במילים אחרות: גם עם חמישה מכתבים וגם עם מיליון, הסיכוי שאף מכתב לא יגיע ליעדו הוא בערך אחד לשלושה. זו אחת התוצאות היפות בקומבינטוריקה, ואחת הדוגמאות המפתיעות לכך שהמספר e צץ דווקא במקומות שבהם איש לא ציפה לו.