צילום: Greg Willis, Wikimedia Commons (CC BY-SA 2.0)

בקיץ 1901 ישב הפילוסוף והמתמטיקאי הבריטי ברטרנד ראסל ובחן את יסודות התורה שאמורה הייתה להיות הבסיס המוצק ביותר של המתמטיקה כולה - תורת הקבוצות. תוך כדי כך נתקל בסתירה קטנה, בת שורה אחת, שהרסה את המפעל של חייו של מתמטיקאי אחר, גוטלוב פרגה, ושינתה את פני הלוגיקה במאה העשרים.

שנים אחר כך ניסח ראסל את אותה סתירה בגרסה שאפשר לספר על כוס קפה. היא מוכרת מאז כפרדוקס הספר.

בכפר קטן ומבודד גר ספר אחד ויחיד. הוא איש עקרונות, ויש לו כלל עבודה יחיד שממנו הוא לא סוטה לעולם:

הספר מגלח את כל תושבי הכפר שאינם מגלחים את עצמם - ורק אותם.

כלומר: מי שמגלח את עצמו, הספר לא נוגע בו. מי שאינו מגלח את עצמו, הספר מגלח אותו. אין חריגים ואין מקרי ביניים.

הכלל נשמע סביר לחלוטין. הוא ברור, הוא הוגן, ואפשר בקלות לדמיין כפר כזה.

השאלה: מי מגלח את הספר?

רמז דק

יש בסך הכול שתי אפשרויות: או שהספר מגלח את עצמו, או שלא. אל תחפשו תשובה יצירתית - פשוט קחו כל אחת מהאפשרויות והריצו אותה מול הכלל שהספר קבע לעצמו. מה נובע מכל אחת מהן?

רמז עבה

אם גיליתם ששתי האפשרויות מובילות לסתירה, לא טעיתם ולא פספסתם אפשרות שלישית. זו אינה חידה שיש לה פתרון מחוכם - זו חידה שהתשובה שלה היא על השאלה עצמה. שאלו את עצמכם לא "מי מגלח" אלא "האם התיאור הזה בכלל יכול לתאר משהו קיים".

פתרון

התשובה: ספר כזה אינו יכול להתקיים. הכפר המתואר בחידה אינו קיים ולא יוכל להתקיים לעולם.

נבדוק את שתי האפשרויות:

אפשרות א: הספר מגלח את עצמו. אבל הכלל אומר שהוא מגלח רק את מי שאינו מגלח את עצמו. אם הוא מגלח את עצמו, הוא לא אמור לגלח את עצמו. סתירה.

אפשרות ב: הספר אינו מגלח את עצמו. אבל הכלל אומר שהוא מגלח את כל מי שאינו מגלח את עצמו - ולכן הוא כן חייב לגלח את עצמו. שוב סתירה.

שתי האפשרויות קורסות, ואין שלישית. המסקנה ההגיונית היחידה היא שההנחה שממנה יצאנו - שקיים ספר כזה - היא בעצמה בלתי אפשרית. משפט שנשמע תמים לחלוטין מתאר יצור שאינו יכול להתקיים.

ולמה זה חשוב?

הספר הוא רק משל. הגרסה המקורית של ראסל עסקה בקבוצות: נתבונן בקבוצה של כל הקבוצות שאינן איברות בעצמן. האם קבוצה זו איבר בעצמה? אם כן - אז לפי הגדרתה היא לא. ואם לא - אז לפי הגדרתה היא כן. אותו מבנה בדיוק, אותה סתירה.

ההבדל הוא שבמקרה של הקבוצות מדובר היה ביסודות המתמטיקה. תורת הקבוצות של פרגה התירה לבנות קבוצה מכל תכונה שהיא, ולכן הפרדוקס של ראסל הוכיח שהמערכת כולה סותרת את עצמה. פרגה, שקיבל את מכתבו של ראסל בזמן שכרך שני של ספרו כבר היה בדפוס, הוסיף לו נספח שנפתח במשפט על כך שאין גורל גרוע יותר לכותב מלראות את היסוד של בניינו מתמוטט עם סיום העבודה.

התגובה לפרדוקס הולידה את המתמטיקה המודרנית: תורת הטיפוסים של ראסל ווייטהד, ובהמשך מערכת האקסיומות של צרמלו ופרנקל, שבה אקסיומת ההפרדה אוסרת בדיוק את הבנייה הבעייתית הזאת. המחיר: כבר אי אפשר לדבר על "קבוצת כל הקבוצות". התמורה: מתמטיקה שאינה סותרת את עצמה.