צילום: Clément Bucco-Lechat, Wikimedia Commons (CC BY-SA 3.0)

בשנת 1733 הציג הרוזן ז'ורז'-לואי לקלר דה בופון, מדען צרפתי שנודע בעיקר כחוקר טבע, שאלה מוזרה בפני האקדמיה למדעים בפריז.

דמיינו רצפת עץ עשויה קרשים ישרים ומקבילים, כולם ברוחב זהה. נקרא למרחק בין שני קווי החיבור d.

עכשיו קחו מחט שאורכה L, קטן או שווה ל-d, והפילו אותה על הרצפה באקראי גמור - בלי לכוון, בלי להתאמץ, פשוט לזרוק ולתת לה לנחות איפה שתנחת.

לפעמים המחט תנחת כולה בתוך קרש אחד. לפעמים היא תחצה קו.

השאלה: מה ההסתברות שהמחט תחצה קו - ומדוע התשובה הופכת מחט תפירה למכשיר למדידת פאי?

רמז דק

נחיתה של מחט נקבעת על ידי שני נתונים בלבד, ושניהם אקראיים ובלתי תלויים זה בזה:

המרחק ממרכז המחט אל הקו הקרוב ביותר.
הזווית שבה המחט מונחת ביחס לקווים.

שימו לב שהמיקום האופקי לאורך הקרש אינו משנה דבר - כל הקרשים זהים.

עכשיו שאלו את עצמכם: עבור זווית נתונה, כמה "רוחב אנכי" תופסת המחט על הרצפה?

רמז עבה

מחט שמונחת בזווית תטא ביחס לקווים פרושה בכיוון האנכי לאורך של L כפול הסינוס של תטא. אם היא מקבילה לקווים, הסינוס אפס והיא לא תחצה לעולם; אם היא מאונכת, הסינוס הוא אחד והיא תופסת את מלוא אורכה.

המחט חוצה קו בדיוק כאשר מרכזה קרוב לקו יותר מחצי מהאורך האנכי הזה.

מכיוון שמרכז המחט מפוזר אחיד, ההסתברות לחצות עבור זווית נתונה היא פשוט היחס בין האורך האנכי לבין d.

נותר רק למצע על כל הזוויות האפשריות - כלומר לחשב את הערך הממוצע של הסינוס. וזה בדיוק המקום שממנו פאי נכנס לתמונה: הממוצע של פונקציית הסינוס על רבע מחזור הוא שתיים חלקי פאי.

פתרון

ההסתברות שהמחט תחצה קו היא 2L חלקי פאי כפול d.

ובמקרה הנוח שבו אורך המחט שווה בדיוק למרחק בין הקווים, ההסתברות היא שתיים חלקי פאי, כלומר כ-63.66 אחוזים.

ההיפוך שהופך את זה לכלי מדידה

עד כה השתמשנו בפאי כדי לחשב הסתברות. אבל אפשר לקרוא את המשוואה גם מהכיוון ההפוך.

הפילו את המחט N פעמים וספרו כמה פעמים היא חצתה קו - נסמן את המספר הזה C. היחס C חלקי N אמור להתקרב להסתברות התיאורטית, ולכן:

פאי בקירוב שווה ל-2 כפול L כפול N, חלקי d כפול C

כלומר: זרקו מחט מספיק פעמים, ספרו, חלקו - ותקבלו את פאי. בלי מעגלים, בלי סרגל, בלי גאומטריה. רק מחט, רצפה וסבלנות.

הבעיה הקטנה: זה איטי להחריד

השיטה עובדת, אבל היא מתכנסת לאט מאוד. הדיוק משתפר בערך כשורש מספר ההטלות, ולכן כדי לקבל שתי ספרות נכונות אחרי הנקודה צריך אלפי הטלות, וכדי לקבל שלוש - מאות אלפים.

וכאן מגיע הסיפור המפורסם: בשנת 1901 דיווח המתמטיקאי האיטלקי מריו לצריני שביצע 3,408 הטלות וקיבל את הערך 3.1415929 - מדויק עד שבע ספרות. התוצאה טובה עד כדי גיחוך: הסיכוי להשיג דיוק כזה במספר כה קטן של הטלות זניח. הניתוח המקובל כיום הוא שלצריני בחר את מספר ההטלות ואת נקודת העצירה כך שיצא לו בדיוק הקירוב המפורסם 355 חלקי 113.

למה החידה הזאת חשובה

מחט בופון נחשבת לבעיה הראשונה בתולדות ההסתברות הגאומטרית - הענף שעוסק בהסתברויות שנקבעות על ידי מיקומים וזוויות רציפים ולא על ידי קוביות וקלפים.

וחשוב מכך, זהו האב הקדמון של שיטות מונטה קרלו: הרעיון שאפשר לחשב גדלים מתמטיים מדויקים על ידי הרצה של ניסויים אקראיים רבים. היום השיטה הזאת מריצה סימולציות בפיזיקה גרעינית, בתמחור אופציות בשוק ההון, ובכל תחום שבו האינטגרל קשה מדי לפתרון ישיר.

הכול התחיל ברוזן צרפתי שזרק מחט על הרצפה.