צילום: Frank C. Müller, Wikimedia Commons (CC BY-SA 2.5)

לפניכם שתי מעטפות סגורות, זהות למראה. בשתיהן יש כסף, ואתם יודעים דבר אחד ודאי: באחת מהן יש בדיוק פי שניים מהסכום שבשנייה.

אתם בוחרים מעטפה, פותחים אותה ומוצאים בתוכה סכום. נסמן אותו X.

עכשיו מציעים לכם להחליף. כדאי?

אתם מחשבים, וההיגיון נראה חסין:

המעטפה השנייה מכילה או פי שניים מ-X, או חצי מ-X. אין סיבה להעדיף אפשרות אחת על פני חברתה, ולכן ההסתברות לכל אחת היא חצי. התוחלת של ההחלפה היא אפוא:

חצי כפול 2X ועוד חצי כפול חצי X, כלומר X ועוד רבע X - סך הכול 1.25X.

1.25X גדול מ-X, ולכן כדאי להחליף. ברור.

אלא שכאן מתחיל הקושי. אחרי שהחלפתם, המעטפה החדשה מכילה סכום כלשהו - נקרא לו Y - ואותו חישוב עצמו, מילה במילה, מוכיח שכדאי להחליף שוב בחזרה. ובחזרה. ובחזרה, עד אינסוף.

גרוע מכך: כל הטיעון הזה לא נשען על מה שראיתם בפועל בתוך המעטפה. הוא עובד גם לפני שפתחתם אותה - כלומר "כדאי להחליף" תקף לשתי המעטפות בו-זמנית, וזה בלתי אפשרי.

השאלה: היכן בדיוק נשבר החישוב?

רמז דק

שימו לב לאות X. היא מופיעה בחישוב פעמיים - ב"2X" וב"חצי X". שאלו את עצמכם אם היא מייצגת את אותו הדבר בשתי הפעמים.

רמז עבה

נסו לתאר את המצב מזווית אחרת. אל תסמנו את מה שבידכם, אלא את מה שקיים על השולחן: המעטפות מכילות S ו-2S, כאשר S הוא הסכום הקטן.

עכשיו חשבו מחדש את תוחלת ההחלפה - במונחי S במקום במונחי X. מה מקבלים?

פתרון

החישוב הנכון

הזוג שעל השולחן קבוע: S ו-2S. אתם אוחזים באחת מהן בהסתברות חצי לכל אפשרות.

אם בידכם S - ההחלפה מרוויחה לכם S.
אם בידכם 2S - ההחלפה מפסידה לכם S.

התוחלת: חצי כפול S ועוד חצי כפול מינוס S, כלומר אפס בדיוק. אין שום יתרון בהחלפה, וזה כמובן הדבר היחיד שיכול היה להיות נכון מטעמי סימטריה.

אז מה בדיוק שגוי בחישוב המקורי?

הכשל הוא בכך ש-X מתחזה לגודל קבוע אחד, בעוד שהוא למעשה מקפץ בין שני עולמות שונים.

כשכותבים "המעטפה השנייה מכילה 2X" מתארים עולם שבו הזוג הוא (X, 2X). כשכותבים "המעטפה השנייה מכילה חצי X" מתארים עולם אחר לגמרי, שבו הזוג הוא (חצי X, X). אלה שני מצבים שונים של המציאות, עם סכומי כסף שונים על השולחן - והחישוב מחבר אותם כאילו היו אותו מצב, תחת אותה אות.

זהו בדיוק סוג השגיאה שקורית כשמערבבים משתנה מקרי אחד עם משתנה מקרי אחר ומעניקים לשניהם שם זהה.

הניסוח הפורמלי של הכשל

הטיעון דורש שלכל ערך X שתגלו יתקיים: ההסתברות שהמעטפה השנייה מכילה 2X היא חצי, וההסתברות שהיא מכילה חצי X היא חצי.

אבל זו דרישה שאי אפשר לקיים. היא מחייבת התפלגות שמפזרת משקל שווה על סקאלה בלתי חסומה של סכומים - וכזו פשוט אינה קיימת. בכל התפלגות אמיתית של סכומי כסף יש סכומים גדולים שהסיכוי להם נמוך, ולכן ככל שהסכום שגיליתם גדול יותר, כך גדל הסיכוי שאתם מחזיקים דווקא במעטפה הגדולה - וההחלפה כבר אינה משתלמת.

מי המציא את זה

הגרסה המוקדמת מיוחסת למתמטיקאי הבלגי מוריס קרייצ'יק, שהציג בשנות השלושים חידה על שני גברים המתווכחים איזו עניבה יקרה יותר ומהמרים ביניהם - עם בדיוק אותו מבנה של טיעון סימטרי בלתי אפשרי.

הפיזיקאי ארווין שרדינגר עסק בה אף הוא, מרטין גרדנר הפיץ אותה לקהל הרחב, ובשנת 1989 הציג הכלכלן בארי ניילבאף את ניסוח שתי המעטפות המוכר היום. מאז נכתבו עליה עשרות מאמרים אקדמיים, וחלק מהדיון על הגרסאות המתוחכמות שלה פתוח עד היום.

מה כדאי לקחת מכאן

כשחישוב תוחלת מוביל למסקנה אבסורדית, כמעט תמיד האשם אינו בחשבון אלא בהגדרת המשתנים. שווה לעצור ולשאול: מה בדיוק אקראי כאן, ומה קבוע?