צילום: Hellbus, Wikimedia Commons (נחלת הכלל)
קחו דף ועט וכתבו עליו מספר אחד: 142857.
עכשיו הכפילו אותו ב-2. קיבלתם 285714. הכפילו ב-3 - 428571. ב-4 - 571428. ב-5 - 714285. וב-6 - 857142.
הביטו בחמש התוצאות. בכל אחת מהן מופיעות בדיוק אותן שש ספרות - 1, 4, 2, 8, 5, 7 - ובדיוק באותו סדר מעגלי. אף ספרה לא נעלמה, אף ספרה לא נוספה, ואף אחת לא עקפה את חברתה. כאילו נכתב המספר על טבעת מסתובבת, וכל הכפלה רק סובבה אותה עוד קליק.
ואז מגיעה ההכפלה השביעית, ופתאום הכול נשבר: 142857 כפול 7 שווה 999999.
וזה עוד לא הכול. חלקו את המספר לשני חצאים - 142 ו-857 - וחברו אותם: 999. חלקו אותו לשלושה זוגות - 14, 28, 57 - וחברו: 99. העלו אותו בריבוע ותקבלו 20408122449; חתכו את התוצאה לשתי חתיכות בנות שש ספרות מהסוף, 20408 ו-122449, וחברו אותן - וקיבלתם שוב 142857.
השאלה: מה בדיוק מסתתר מאחורי המספר הזה, ואיך אפשר לייצר בעצמכם מספרים נוספים שמתנהגים כמוהו?
999999 איננו מספר עגול במקרה. נסו לחלק אותו ב-7 ותראו מה יוצא.
בצעו חילוק ארוך של 1 ב-7, ורשמו בצד לא רק את הספרות שיוצאות אלא גם את השאריות שמתקבלות בכל שלב. אחרי שש ספרות תגלו שהשארית חזרה להיות 1, והמעגל נסגר. עכשיו שאלו את עצמכם מה קורה אם מתחילים את אותו חילוק ארוך מ-2 חלקי 7 או מ-3 חלקי 7 - האם אתם נכנסים למעגל חדש, או שאתם פשוט קופצים לנקודה אחרת על אותו מעגל בדיוק?
142857 הוא הפריסה העשרונית של השבר 1 חלקי 7.
1/7 = 0.142857142857142857... - מחזור בן שש ספרות שחוזר על עצמו לנצח.
ומה עם ההכפלות? חשבו מה זה 2/7. זהו 0.285714285714... - אותן שש ספרות בדיוק, רק שהמחזור מתחיל בנקודה אחרת. 3/7 הוא 0.428571..., 4/7 הוא 0.571428..., 5/7 הוא 0.714285... ו-6/7 הוא 0.857142...
זו הסיבה לכל התופעה: הכפלת 142857 במספר קטן מ-7 אינה יוצרת מספר חדש, אלא רק מזיזה את נקודת ההתחלה על אותו מחזור. הספרות סובבות, כי מלכתחילה הן היו סדרה מחזורית אחת.
ולמה 7 שובר את הקסם? כי 7/7 שווה 1, ובעשרוני 1 = 0.999999... כאשר מקצרים למחזור בן שש ספרות מקבלים 999999. במילים אחרות, 142857 = 999999 חלקי 7 - וזו הזהות שממנה נובע הכול.
הכלל הכללי
מספר ראשוני p נקרא "בעל מחזור מלא" אם המחזור העשרוני של 1/p אורכו בדיוק p מינוס 1 ספרות. עבור ראשוני כזה, המספר שמתקבל מהמחזור הוא בדיוק (10 בחזקת p-1, פחות 1) חלקי p - כלומר רצף של p-1 תשיעיות מחולק ב-p - וכל הכפלה שלו במספר בין 1 ל-p-1 מסובבת את ספרותיו.
7 הוא הראשוני הקטן ביותר מסוג זה. הבא בתור הוא 17: השבר 1/17 נותן מחזור בן 16 ספרות, 0588235294117647, וגם אותו אפשר להכפיל ב-2 עד 16 ולקבל סיבובים של אותן ספרות. אחריהם באים 19, 23, 29, 47, 59, 61 ו-97.
ומה עם החיבורים שיוצאים תשיעיות? גם הם לא מקריים. משפט מידי (Midy) קובע שאם מחלקים מחזור באורך זוגי לשני חצאים שווים ומחברים אותם, מתקבל תמיד רצף של תשיעיות. 142 ועוד 857 שווה 999 - בדיוק כפי ש-0588235294 ועוד 117647 יעבוד עבור 17.
ולסיום, ניסוי קטן: חלקו 1 ב-7 במחשבון של הטלפון. אם הוא מציג מספיק ספרות, אתם רואים בעצם את אותו מספר שכתבתם בהתחלה - רק בלי הנקודה.
תגובות
- לא נמצאו תגובות
Post comment as a guest