צילום: National Archives and Records Administration, Wikimedia Commons (נחלת הכלל)
חמישה שודדי ים שדדו תיבה ובה מאה מטבעות זהב, ועכשיו עליהם לחלק אותה. בין השודדים יש דירוג ותק ברור וידוע לכולם: נקרא להם א', ב', ג', ד' ו-ה', כאשר א' הוא הבכיר ביותר ו-ה' הזוטר ביותר.
נוהג החלוקה על הספינה נוקשה. הבכיר מבין הנותרים מציע חלוקה כלשהי של המטבעות. כל השודדים הנותרים, כולל המציע עצמו, מצביעים בעד או נגד. אם ההצעה זוכה למחצית הקולות לפחות - כלומר גם תיקו נחשב לאישור - היא מתקבלת והפרשה נסגרת. אם לא, המציע מושלך אל הים, והבכיר הבא בתור מציע חלוקה חדשה מבין הנותרים. וכך הלאה.
כל השודדים רציונליים לחלוטין, יודעים לחשב עד הסוף, ויודעים שכל האחרים רציונליים באותה מידה. סדר העדיפויות של כל אחד מהם קבוע וידוע: ראשית להישאר בחיים, שנית לקבל כמה שיותר מטבעות, ושלישית - אם שני התנאים הראשונים זהים - הם דווקא מעדיפים לראות שודד נוסף מושלך למים.
האינטואיציה הראשונית של רוב האנשים היא שהבכיר נמצא בצרות. ארבעה שודדים חמדנים עומדים מולו, וכדי לשרוד הוא יצטרך לחלק כמעט הכול ולהסתפק בפירורים. יש הסבורים שהוא ייאלץ לחלק בערך בשווה, עשרים מטבעות לכל אחד.
השאלה: איזו חלוקה בדיוק יציע השודד הבכיר, כמה מטבעות יישארו בידיו, ומדוע ההצעה הזאת תתקבל דווקא בסיבוב הראשון?
אל תתחילו מהמצב הנוכחי. שאלו מה יקרה בסוף: אם ארבעה כבר הושלכו למים ונשארו רק שניים - מה יציע הבכיר מביניהם, ולמה ההצעה תעבור?
כשנשארים שניים, הבכיר לוקח את הכול: קולו שלו הוא מחצית מן הקולות, וזה מספיק. לכן הזוטר שבשניים יודע שבתרחיש הזה הוא יוצא בלי כלום, והוא יסכים כמעט לכל דבר כדי שהתרחיש לא יגיע. בנו את הטבלה מלמטה למעלה, ובכל שלב שאלו רק דבר אחד: מי מקבל אפס בשלב הבא? אלה בדיוק האנשים שאפשר לקנות במטבע אחד.
פותרים באינדוקציה לאחור, מן התרחיש הקטן ביותר אל הגדול.
שני שודדים, ד' ו-ה': ד' מציע לעצמו את כל מאה המטבעות. הוא מצביע בעד, וזהו קול אחד מתוך שניים - בדיוק מחצית, ולכן ההצעה עוברת. ה' מקבל אפס ואין לו שום דרך למנוע זאת. המסקנה החשובה: ה' חושש מאוד מן התרחיש הזה.
שלושה שודדים, ג', ד' ו-ה': ג' זקוק לשני קולות מתוך שלושה, כלומר לקול אחד נוסף מלבד שלו. ד' לא ישתף פעולה בזול, שכן אם ג' יושלך למים ד' יקבל מאה. אבל ה' יקבל אפס בתרחיש הבא, ולכן מטבע אחד כבר עדיף עבורו. ג' מציע: 99 לעצמו, אפס ל-ד', ומטבע אחד ל-ה'. ההצעה עוברת.
ארבעה שודדים, ב', ג', ד' ו-ה': ב' זקוק לשני קולות מתוך ארבעה - שלו ועוד אחד. מי מקבל אפס בתרחיש של שלושה? ד'. לכן ב' מציע: 99 לעצמו, אפס ל-ג', מטבע אחד ל-ד', אפס ל-ה'. ד' מעדיף מטבע אחד על פני אפס ומצביע בעד. שני קולות מתוך ארבעה - עובר.
חמישה שודדים, המצב האמיתי: א' זקוק לשלושה קולות מתוך חמישה - שלו ועוד שניים. מי יוצאים בידיים ריקות בתרחיש של ארבעה? ג' ו-ה'. שניהם ירוויחו ממטבע בודד. ולכן ההצעה של א' היא:
א' - 98 מטבעות. ב' - אפס. ג' - מטבע אחד. ד' - אפס. ה' - מטבע אחד.
ג' ו-ה' מצביעים בעד, משום שאם א' יושלך למים הם יקבלו אפס. יחד עם קולו של א' יש שלושה קולות מתוך חמישה, וההצעה מתקבלת כבר בסיבוב הראשון. הבכיר שומר לעצמו 98 מטבעות מתוך מאה.
התוצאה נראית בלתי אפשרית, אבל היא נובעת מנקודה אחת: כוחו של הבכיר איננו נובע מן הוותק שלו אלא מכך שהוא היחיד שיודע לחשב עד הסוף ולזהות מי מפחד מן התרחיש הבא. בגרסה עם מאתיים שודדים ומאה מטבעות המצב מתהפך לגמרי - שם הבכירים ביותר אינם יכולים לשרוד כלל, ועיקר המאבק הוא על עצם ההישרדות ולא על הזהב.
תגובות
- לא נמצאו תגובות
Post comment as a guest