עוקבים אחרי המשולש של הרון

_copy_copy_copy_copy_copy_copy_copy_copy_copyמשולש הרון או משולש הרוני הוא משולש בו שלוש הצלעות והגובה הם מספרים שלמים.

מצאו משולש כזה שבו הצלעות והגובה הם מספרים שלמים וגם עוקבים.

 

 

 

כדי לבנות משולש הרוני כלשהו צריך לחפש שני משולשים ישרי זווית שיש להם ניצב בעל אותו אורך אותו יש להצמיד ולקבל משולש חדש שהניצב המשותף מהווה בו גובה. ניקח למשל את שני המשולשים ישרי הזווית שצלעותיהם: 37 ס"מ, 35 ס"מ, 12 ס"מ ו-13 ס"מ, 12 ס"מ, 5 ס"מ ,המקיימות את משפט פיתגורס-שתי שלושות פיתגוראיות.

נרכיב משני המשולשים משולש חדש ובו הניצבים בני 12 ס"מ בכל משולש מוצמדים זה לזה והופכים להיות גובה במשולש חדש שצלעותיו: 37 ס"מ, 13 ס"מ ו38 ס"מ המתקבלת מחיבור שתי צלעות של 35 ס"מ במשולש אחד ו-5 ס"מ במשולש האחר(שרטטו). אבל צלעות המשולש ההרוני שקבלנו אינן מספרים עוקבים וזה מה שצריך לחפש...

_51213צריך לחפש משולש אחד שיש לו שתי צלעות בעלות מספרים עוקבים ומשולש שני, שיש לו צלע הקרובה באורכה לשתי הצלעות העוקבות במשולש הראשון...

 

 

 

 

_12131415_copyיש לנו משולש לו שתי צלעות עוקבות: 12 ס"מ, 13 ס"מ, 5 ס"מ. איך נמצא משולש שני עם צלע אחת זהה? ראינו משולש שני עם צלע 12 ס"מ אך הצלעות האחרות גדולות מדי. אנחנו צריכים לחפש משולש עם ניצב בן 12 ס"מ או 5 ס"מ. מאחר ו12, 13 הם מספרים עוקבים והפרש הריבועים שלהם הוא 25 ולכן נקבל את הניצב  5 ס"מ רק בצרוף זה. אבל אפשר להגיע לניצב 12 על ידי הכפלת השלשה הפיתגוראית: 3,4,5 פי 3 ונקבל את השלשה: 15, 12, 9 וזה המשולש ישר זווית השני המבוקש שהיתר שלו שווה ל15 ס"מ והניצבים: 12ס"מ, 9 ס"מ. כעת לא נותר לנו אלא להצמיד את שני הניצבים בני 12 ס"מ של שני המשולשים ונקבל משולש שצלעותיו: 13ס"מ, 15 ס"מ, ו14 ס"מ( המתקבלת מחיבור שתי הצלעות בנות 9 ס"מ ו5 ס"מ של שני המשולשים). קבלנו משולש הרון שצלעותיו וגובהו הם מספרים עוקבים: 12,13,14,15

 

הרון מאלכסנדריה היה מתמטיקאי יווני שחי בין השנים 10 ל70 לספירה. הוא עסק גם בפיסיקה ובהנדסה. תרומתו לגיאומטריה היא נוסחת הרון למציאת שטח משולש על פי שלוש צלעותיו.

הוספת תגובה

תגובות (9)

  • דר אביקם גזית

    הי בר9
    אני לא השתמשתי בכתובת זו. יתכן ובונה האתר תכנן אותה אבל אני לא מצליח להכנס. עד שאבדוק אפשר לשלו למייל שלי באוניברסיטה הפתוחה:
    avikam@openu.ac.il
    בברכה

    אביקם

    כתובת URL מקוצרת:
  • בר9

    שבוע טוב, שלחתי לכאן - office@chidot.co.il

    כתובת URL מקוצרת:
  • אביקם גזית

    המון תודות בר9
    לאן בדיוק שלחת: האם ל:"שלח לנו חידה"?

    בברכה אביקם

    כתובת URL מקוצרת:
  • בר9

    לבקשתך, שלחתי כמה חידות למייל של האתר..
    תרומה צנועה לאתר הנהדר הזה!

    כתובת URL מקוצרת:
  • דר אביקם גזית

    תשובה מושלמת ומדוייקת בר 9
    אם יש לך חידות מעניינות אשמח לפרסם

    בברכה

    אביקם

    כתובת URL מקוצרת:
  • בר9

    במבט שלישי(!!) לא יהיה נכון להחליף את הסדר של הניצב והבסיס כי אז הניצב (שהוא בעצם הגובה) לא יהיה מספר עוקב ככה שיש רק אפשרות אחת לסדר את המשולש והוא בסדר שסידרתי אותו מלכתחילה!! :-) :-) :-)

    כתובת URL מקוצרת:
  • בר9

    אחרי מבט בפיתרון נראה לי שטעיתי כי כשאני משנה את הסדר של הניצב והבסיס אז התוצאה לא טובה...כאילו עשיתי מקרה ספציפי של השלשה הזאת שהמשולש מסודר בדרך מסויימת שסידרתי אותו וכשאני משנה את הסדר (כי תכלס אין לדעת איך המשולש באמת יראה ומזה כל צלע)...

    כתובת URL מקוצרת:
  • בר9

    טוב אני ארשום פתרון אני מקווה שאני אצליח לנסח את זה בצורה לא מסורבלת...לפי השאלה ניתן לראות בבירור כי מדובר על משולש וגובה..הגובה מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית ומכן אפשר להסיק שיהיה כאן שימוש כלשהו בפיתגורס...עכשיו להסבר: ניסיתי לפתור ב2 דרכים..הראשונה (לא הצליחה) ניסיתי להגדיר בעזרת איקס משולש שיקיים את התנאים הרשומים (X, X+1, X+2, X+3) ולעשות כל מיני פיתגורסים ובלה בלה בלה והגעתי למשוואה מאוד מסובכת בלתי פתירה לדעתי חח (וגם קצת לא הגיונית אז בטח איפשהו טעיתי :D)
    הדרך השנייה : נעזרתי בכל השלשות הפיתגוריות הקיימות (מקווה שזה לא פוסל את התשובה שלי) ובדקתי במי יש 2 מספרים עוקבים (חייבים 2 כי אחד מהם זה גובה ואחד זה צלע המשולש עצמו)...השלשות שמקיימות הן: 7,24,25 - 5,12,13 - 9,40,41 - 11,60,61 - 13,84,85 - 20,21,29...עכשיו אפשר להתחיל לחקור אחת אחת ולראות...קשה לי להסביר במילים איך בדקתי אבל כמובן שזה היה בעזרת פיתגורס...פשוט צריך להגדיר נעלם איקס, לעשות פיתגורס במשולש עם הנעלם ולבדוק אם התשובה שיוצאת מתאימה לתנאי השאלה...בשלשה הראשונה (7,24,25) שבדקתי המסקנה הייתה שכדי שאורך היתר יהיה מספר עוקב (או 26 או 27 - למי שחושב רגע למה הוא לא יכול להיות נגיד 23 או 22 אז זה בגלל שהוא יתר והוא לא יכול להיות קטן יותר מהניצב שהוא בעצם גם הגובה במשולש הגדול ה"מקורי"!) (אז איקס צריך להיות שווה 10 שזה לא טוב לנו כי אז אחת מצלעות המשולש היא X+5 שזה נותן 15 ואז אין לנו כאן 4 מספרים עוקבים או איקס יוצא שלוש שורש 145 שזה לא מספר שלם לכן זה גם נפסל). בשלשה השנייה (5,12,13) למזלי הרב מאוד חח ראיתי שהמספרים נכונים ואיקס יוצא לי 9 לכן הצלעות הן : 13,14,15 והגובה הוא 12

    כתובת URL מקוצרת:
  • דר אביקם גזית

    האם הצלחתם למצוא את המשולש מבלי לקרוא את הפתרון?
    אם יש לך דרך מקורית ומעניינת לפתרון,כאן המקום להציג, בשמחה

    אביקם

    כתובת URL מקוצרת:



חדשות ועדכונים

למה גם לך כדאי לפתוח חנות אינטרנטית?
בעלי עסקים בכל הארץ מעוניינים להגדיל מכירות וליהנות מלקוחות חדשים, לאחר ההשקעה באתר אינטרנט מעוצב ומושקע כדאי להקים גם חנות אינטרנטית על מנת...
בשורה לתושבי חוף הכרמל: חוף המרכולים לא ייאכף בשטח המועצה וה...
סגן ראש מועצת חוף הכרמל, אורן עוזרד, יזם בתיאום עם ראש המועצה מהלך שיאפשר לעסקים בחוף הכרמל להישאר פתוחים בשבת למרות "חוק המרכולים"....
נשיא הבורסה ליהלומים במשלחת בהודו: פועלים כדי שהודו תקל את ת...
נשיא הבורסה ליהלומים במשלחת בהודו: פועלים כדי שהודו תקל את תנאי הכניסה ליהלומנים ישראלים. "ממשלת הודו מבינה את חשיבות המסחר הפתוח בין הודו לישראל,...
עו"ד איתי סהר יתמודד לראשות העיר אשקלון: "אסור שהע...
איתי סהר, עורך דין, מוזיקאי ויזם אשקלוני מצליח, ממובילי שיקום חוף דלילה, הודיע שיתמודד בבחירות 2018 לראשות העיר: "מקבלי החלטות שלא מבינים עסקים...
עצומה: לפתוח את אזורי הרישום בחוף הכרמל
לאחר ששר החינוך נפתלי בנט לא נענה לבקשתו של סגן ראש מועצת חוף הכרמל, אורן עוזרד, להעביר את התקציב להסעות שיאפשר לפתוח את...
פנייה לראש עיריית אשקלון: מנע סגירת עסקים בשבת
עורך הדין והיזם האשקלוני המצליח איתי סהר, המתמודד על ראשות עיריית אשקלון, שלח  מכתב לראש עיריית אשקלון בפועל תומר גלאם ובו קרא לו...