צילום: Ingolfson, Wikimedia Commons (נחלת הכלל)
בכל בוקר נוסעים 4,000 נהגים מפרבר A אל מרכז העיר B. יש שני מסלולים אפשריים.
המסלול הצפוני: קטע צר מ-A לצומת C, ואחריו כביש מהיר ורחב מ-C ל-B. הקטע הצר רגיש לעומס - זמן הנסיעה בו בדקות שווה למספר המכוניות שנכנסו אליו חלקי 100. הכביש הרחב אינו רגיש לעומס כלל, ולוקח תמיד 45 דקות.
המסלול הדרומי: אותו הדבר בדיוק, רק הפוך. כביש רחב מ-A לצומת D שלוקח תמיד 45 דקות, ואחריו קטע צר מ-D ל-B שזמנו הוא מספר המכוניות חלקי 100.
הנהגים אינם טיפשים. הם מתפצלים מעצמם 2,000 לכל צד, וכל אחד מהם נוסע 2000 חלקי 100 ועוד 45 - כלומר 65 דקות. איש אינו יכול לשפר את מצבו במעבר לצד השני, ולכן זהו שיווי משקל יציב.
ואז מחליטה העירייה לעזור. היא סוללת כביש קצר, מהיר ומשוכלל בין הצומת C לצומת D, שזמן הנסיעה בו הוא כמעט אפס. הכביש חינם, פתוח לכולם, ואינו מבטל שום כביש קיים - רק מוסיף אפשרות.
השאלה: מה יהיה זמן הנסיעה של נהג ממוצע למחרת פתיחת הכביש החדש?
אף נהג אינו שואל "מה טוב לכולנו". כל נהג שואל רק "מה כדאי לי עכשיו, בהנחה שכל השאר כבר בחרו". חשבו מה קורה כשכל אחד בנפרד עונה על השאלה הזאת.
שימו לב שהמסלול A - C - D - B מורכב משני קטעים צרים ומאפס דקות ביניהם, ואינו כולל אף אחד מהכבישים בני 45 הדקות. חשבו כמה זמן ייקח המסלול הזה אם כל 4,000 הנהגים יבחרו בו - ואז בדקו אם נהג בודד יכול להרוויח מכך שיעזוב אותו.
80 דקות. כל נהג יאחר ב-15 דקות יותר מאשר לפני שנסלל הכביש החדש.
למה כולם עוברים למסלול החדש
נהג שנמצא בצומת C עומד בפני בחירה: להמשיך בכביש הקבוע ל-B ולשלם 45 דקות, או לחצות ל-D כמעט בחינם ואז לנסוע בקטע הצר. כל עוד הקטע הצר עמוס בפחות מ-4,500 מכוניות, המעבר משתלם לו. אותו שיקול בדיוק תקף לנהג שיצא לכיוון D.
לכן המסלול A - C - D - B הוא אסטרטגיה דומיננטית: הוא עדיף עבור כל נהג בנפרד, לא משנה מה יעשו האחרים. כולם בוחרים בו.
החישוב החדש
כל 4,000 המכוניות נכנסות לקטע הצר A-C: 4000 חלקי 100 שווה 40 דקות. מ-C ל-D: אפס. אותן 4,000 מכוניות נכנסות לקטע הצר D-B: עוד 40 דקות. סך הכול 80 דקות.
ולמה אף אחד לא חוזר בו
כאן נמצא העוקץ. נהג בודד שינסה לחזור למסלול הישן ייסע A - C - B: 40 דקות ועוד 45 - כלומר 85 דקות. גרוע יותר. גם A - D - B ייתן 45 ועוד 40, שוב 85 דקות.
כלומר 80 הדקות הן שיווי משקל נאש אמיתי: איש אינו יכול להשתפר בכוחות עצמו, למרות שכולם יחד היו מרוויחים 15 דקות אילו רק היה מישהו סוגר את הכביש החדש.
מלכודת חברתית, לא טעות חישובית
זהו בדיוק פרדוקס בראס, שנוסח על ידי המתמטיקאי הגרמני דיטריך בראס ב-1968. הוא מראה שבמערכת שבה כל שחקן מיטיב עם עצמו, הוספת משאב חינמי עלולה להרע לכולם - כי היא פותחת מסלול שכדאי לכל אחד בנפרד ומזיק לכולם יחד.
וזה קורה גם במציאות
בסיאול, החלפתו של כביש מהיר עירוני בפארק ובנחל משוחזר בפרויקט צ'ונגגייצ'ון בתחילת שנות האלפיים לוותה בשיפור בזרימת התנועה, ולא בקריסה שחזו רבים. בניו יורק, סגירת רחוב 42 ליום כדור הארץ ב-1990 הפחיתה עומסים במקום להחריף אותם. בשטוטגרט, הוספת נתיב ליד מרכז העיר בשנות השבעים נאלצה להתבטל לאחר שהתנועה רק החמירה.
ומה גובל הנזק?
מסתבר שיש לו תקרה. עבודות בתורת המשחקים האלגוריתמית הראו שברשתות שבהן זמן הנסיעה תלוי בעומס באופן ליניארי, שיווי המשקל האנוכי לעולם אינו גרוע מפי 4/3 מהפתרון האופטימלי. במקרה שלנו: 80 חלקי 65 שווה בערך 1.23 - בדיוק מתחת לגבול.
תגובות
- לא נמצאו תגובות
Post comment as a guest