הטריק שגאוס הקטן גילה בכיתה עובד גם כאן, רק שהפעם לא מזווגים מספרים שלמים אלא ספרות.

נסו לזווג את 0 עם 999, את 1 עם 998, את 2 עם 997 - ובדקו מה קורה לסכום הספרות בכל זוג כזה.

כתבו את כל המספרים מ-000 עד 999 בשלוש ספרות בדיוק, עם אפסים מובילים. סכום הספרות לא משתנה מכך, כי אפס אינו מוסיף דבר.

עכשיו התאימו לכל מחרוזת את המחרוזת המשלימה שלה - זו שבה כל ספרה מוחלפת ב-9 פחות עצמה. כך 000 מזדווג עם 999, ו-137 מזדווג עם 862.

בכל זוג כזה סכום הספרות קבוע לחלוטין ואינו תלוי במחרוזת. כמה זוגות יש, ומה נשאר להוסיף בסוף?

התשובה: 13,501.

נתבונן בכל המספרים מ-000 עד 999 כשהם כתובים בשלוש ספרות בדיוק. יש 1000 מחרוזות כאלה, וסכום הספרות שלהן זהה לסכום הספרות של המספרים 0 עד 999.

לכל מחרוזת נתאים את המחרוזת המשלימה, שבה כל ספרה מוחלפת ב-9 פחות עצמה. בכל אחת משלוש העמדות שתי הספרות מסתכמות ב-9, ולכן סכום הספרות של זוג שלם הוא תמיד:

9 + 9 + 9 = 27

אף מחרוזת אינה מזדווגת עם עצמה, שהרי לשם כך הייתה נדרשת ספרה ששווה ל-9 פחות עצמה - כלומר 4.5, שאיננה ספרה. לכן 1000 המחרוזות מתחלקות ל-500 זוגות מלאים:

500 × 27 = 13,500

זהו סכום כל הספרות של המספרים מ-0 עד 999. המספר 0 תורם 0, ולכן זהו גם הסכום עבור 1 עד 999.

נותר להוסיף רק את המספר 1000, שתורם ספרה משמעותית אחת: 1.

ובסך הכול: 13,500 + 1 = 13,501.

דרך אחרת להגיע לאותה תוצאה: בכל אחת משלוש העמדות כל ספרה מ-0 עד 9 מופיעה בדיוק 100 פעמים, ולכן התרומה של כל עמדה היא 45 × 100 = 4,500. שלוש עמדות נותנות 13,500, ועוד 1 עבור המספר 1000.