צילום: Satsumasan, Wikimedia Commons (CC0)

בשנת 1919 שכב המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'ן חולה בבית חולים ליד לונדון. חברו, המתמטיקאי הבריטי ג'י. אייץ'. הארדי, בא לבקר אותו, וכדי לפתוח בשיחה התלונן שהמונית שהביאה אותו נשאה את המספר 1729 - מספר משעמם לחלוטין, ואולי אפילו סימן רע.

רמנוג'ן ענה מיד, בלי לחשוב: "לא, הארדי. זה מספר מעניין מאוד."

וכאן מתחילה החידה. יש מספרים שאפשר לכתוב כסכום של שתי קוביות שלמות. למשל 9, שהוא 8 ועוד 1 - כלומר שתיים בחזקת שלוש ועוד אחת בחזקת שלוש. או 35, שהוא 27 ועוד 8. אבל כמעט תמיד יש רק דרך אחת לעשות זאת.

השאלה: מהו המספר החיובי הקטן ביותר שאפשר להציג אותו כסכום של שתי קוביות של מספרים שלמים חיוביים בשתי דרכים שונות - ואיך אפשר למצוא אותו בעיפרון ונייר, בלי מחשב?

רמז דק

אלה הקוביות הראשונות: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331 ו-1728. כל מה שדרוש הוא למצוא שני זוגות שונים מתוך הרשימה הזאת שנותנים בדיוק את אותו סכום.

רמז עבה

אין צורך לבדוק אינסוף אפשרויות. אם מגבילים את החיפוש לשתים עשרה הקוביות הראשונות, יש רק 78 סכומים אפשריים של זוגות - מעט מאוד לרשימה ידנית. רשמו את כולם, מיינו בסדר עולה וחפשו את הסכום הראשון שמופיע פעמיים. שימו לב שהזוג המנצח מורכב מצירוף לא אינטואיטיבי: פעם אחת קובייה ענקית לצד הקטנה ביותר, ופעם שנייה שתי קוביות בגודל בינוני.

פתרון

המספר הוא 1729 - בדיוק מספר המונית של הארדי.

שתי ההצגות שלו:

1729 = 1 + 1728, כלומר אחת בחזקת שלוש ועוד שתים עשרה בחזקת שלוש.

1729 = 729 + 1000, כלומר תשע בחזקת שלוש ועוד עשר בחזקת שלוש.

אין מספר קטן יותר עם התכונה הזאת, ואפשר לוודא זאת בסריקה ידנית קצרה: מחשבים את כל הסכומים של זוגות מבין שתים עשרה הקוביות הראשונות, ואף סכום אינו חוזר על עצמו עד שמגיעים ל-1729.

הסיפור הזה הפך את 1729 למספר המפורסם בעולם המספרים, והוא נקרא מאז "מספר המונית" ומסומן Ta(2).

המשפחה הזאת לא נעצרת כאן. מהו המספר הקטן ביותר שאפשר להציג בשלוש דרכים שונות כסכום שתי קוביות? התשובה היא 87539319. עבור ארבע דרכים המספר הוא 6963472309248, בן שלוש עשרה ספרות. המספר עבור שש דרכים נמצא רק בשנת 2008, והוא בן עשרים ושלוש ספרות. מספר המונית לשבע הצגות ומעלה עדיין אינו ידוע לאיש.