אל תנסו להוכיח - פשוט הריצו. התחילו מ-3524 והמשיכו שלושה או ארבעה צעדים נוספים. כשתגיעו למספר שנראה חשוד, בדקו אותו בעצמו: סדרו את ספרותיו יורד ועולה, חסרו, וראו מה יוצא.

שתי עובדות מצמצמות את המרחב עד כדי אפשרות לבדוק אותו ידנית. ראשית, ההפרש בין מספר לבין סידור מחדש של אותן ספרות מתחלק תמיד ב-9, ולכן כל התוצאות הן כפולות של 9. שנית, התוצאה אינה תלויה בספרות עצמן אלא רק בהפרשים ביניהן. סמנו את הספרות המסודרות בסדר יורד באותיות a, b, c, d וכתבו את החיסור באופן כללי - תראו מיד כמה מעט אפשרויות באמת נשארות. מה שנותר הוא למצוא את המספר שהפעולה מחזירה אל עצמו.

המספר הוא 6174 - הקבוע של קפריקאר.

נמשיך את הדוגמה עד הסוף:

3524 : 5432 פחות 2345 שווה 3087.

3087 : 8730 פחות 0378 שווה 8352.

8352 : 8532 פחות 2358 שווה 6174.

6174 : 7641 פחות 1467 שווה 6174.

הגענו לנקודת שבת. 6174 מחזיר את עצמו, ומכאן והלאה שום דבר לא ישתנה.

למה זה קורה?

נסמן את ארבע הספרות, לאחר סידור מהגדולה לקטנה, ב-a ואז b ואז c ואז d. החיסור הוא (1000a+100b+10c+d) פחות (1000d+100c+10b+a), ואחרי כינוס איברים מקבלים 999 כפול (a פחות d) ועוד 90 כפול (b פחות c).

כלומר התוצאה תלויה אך ורק בשני הפרשים, ולא בערכי הספרות עצמן. מכיוון ש-a פחות d יכול לקבל תשעה ערכים בלבד, ו-b פחות c חייב להיות קטן ממנו או שווה לו, יש אחרי הצעד הראשון לכל היותר 54 תוצאות אפשריות. בדיקה של כל אחת מהן מראה שכולן זורמות אל 6174, ואף אחת לא נלכדת במעגל אחר.

יוצא הדופן היחיד: מספרים שכל ספרותיהם זהות - 1111, 2222 וכן הלאה - נותנים 0 כבר בצעד הראשון, ולכן הם הוצאו מהמשחק מלכתחילה.

וכמה צעדים זה לוקח? לכל היותר שבעה. מכל מספר חוקי בן ארבע ספרות מגיעים אל 6174 תוך שבע איטרציות או פחות.

ולבסוף, בונוס למי שרוצה לנסות: גם למספרים בני שלוש ספרות יש קבוע משלהם, והוא 495. התחילו מ-623 ותראו כמה מהר אתם שם.