צילום: Fisle, Wikimedia Commons (CC BY-SA 3.0)

את כללי החלוקה הראשונים כולנו למדנו בכיתה: מספר מתחלק ב-2 אם ספרתו האחרונה זוגית, ב-5 אם הוא נגמר ב-0 או ב-5, וב-3 או ב-9 אם סכום ספרותיו מתחלק בהם. אבל כשמגיעים לשבע, המורים בדרך כלל מושכים בכתפיים ואומרים "פשוט תחלקו ותראו". מסתבר שיש דרך אחרת, והיא מסתתרת במספר אחד קטן וחביב: 1001.

הכלל עובד כך: לוקחים את המספר, מחלקים אותו לקבוצות של שלוש ספרות החל מהסוף (בדיוק כמו הפסיקים שמופיעים במספרים גדולים), ואז מחברים ומחסרים את הקבוצות לסירוגין - הראשונה מימין בפלוס, השנייה במינוס, השלישית בפלוס, וכן הלאה. התוצאה הקטנה שמתקבלת מתחלקת ב-7, ב-11 או ב-13 בדיוק כשהמספר המקורי מתחלק בהם.

ניקח דוגמה: 1,092,455. הקבוצות הן 1 | 092 | 455, והחישוב הוא 455 פחות 92 ועוד 1.

השאלה: מהי התוצאה, ובאילו מבין השלושה - 7, 11, 13 - מתחלק המספר 1,092,455? וחשוב מכך: למה השיטה הזאת עובדת בכלל?

רמז דק

נסו לפרק את 1001 לגורמים ראשוניים. שלושת הגורמים שתקבלו הם בדיוק שלושת המספרים שהכלל בודק - וזה לא צירוף מקרים.

רמז עבה

כל מספר אפשר לכתוב כסכום של קבוצות תלת-ספרתיות מוכפלות בחזקות של 1000, למשל 1,092,455 = 455 + 92 כפול 1000 + 1 כפול מיליון. עכשיו שימו לב ש-1000 הוא 1001 פחות 1, כלומר בחשבון מודולו 1001 הוא מתנהג בדיוק כמו מינוס אחת. חזקה זוגית של מינוס אחת נותנת פלוס, חזקה אי-זוגית נותנת מינוס - ומכאן הסימנים המתחלפים.

פתרון

תחילה החישוב: 455 פחות 92 שווה 363, ועוד 1 שווה 364. עכשיו בודקים את 364 בלבד במקום מספר בן שבע ספרות.

364 שווה ל-4 כפול 7 כפול 13, ולכן הוא מתחלק גם ב-7 וגם ב-13. לעומת זאת 364 חלקי 11 נותן 33 ושארית 1, ולכן הוא אינו מתחלק ב-11.

המסקנה: 1,092,455 מתחלק ב-7 (התוצאה 156,065) ומתחלק ב-13 (התוצאה 84,035), אך אינו מתחלק ב-11.

ולמה זה עובד: 1001 = 7 כפול 11 כפול 13. מכיוון ש-1000 משאיר שארית מינוס אחת בחלוקה ב-1001, כל קבוצה תלת-ספרתית מקבלת סימן מתחלף, והסכום המתחלף שווה למספר המקורי מודולו 1001. וכיוון ש-7, 11 ו-13 מחלקים את 1001, כל דבר שנכון מודולו 1001 נכון גם מודולו כל אחד מהם בנפרד.

אגב, אותו טריק מסביר תעלומה מוכרת: כשכופלים מספר תלת-ספרתי ב-1001 מקבלים אותו פעמיים ברצף - 253 כפול 1001 שווה 253,253. וזה גם ההסבר לתרגיל הקסם שבו מבקשים ממישהו לכתוב מספר בן שלוש ספרות פעמיים, ואז מתברר שהמספר שנוצר מתחלק תמיד ב-7, ב-11 וב-13.