צילום: Rfassbind, Wikimedia Commons (CC BY-SA 3.0)

בשנת 1949, בכנס מתמטי בעיר מדראס שבהודו, הציג מורה בית ספר בשם דאטאטרייה ראמצ'נדרה קפרקר תרגיל שנראה כמו משחק ילדים. קפרקר לא היה מתמטיקאי אקדמי - הוא לימד בבית ספר בעיירה קטנה במדינת מהרשטרה, וכל חייו הקדיש את שעות הפנאי שלו לחקר תכונות מוזרות של מספרים. חלק מעמיתיו זלזלו בעיסוק הזה. היום שמו חקוק בכמה מן התוצאות היפות ביותר של תורת המספרים המשעשעת.

הנה התרגיל שלו. בחרו מספר בן ארבע ספרות, ובלבד שלא כל ארבע הספרות זהות - כלומר לא 1111 ולא 7777. סדרו את ספרותיו פעם אחת בסדר יורד ופעם אחת בסדר עולה, וחסרו את המספר הקטן מן הגדול. את התוצאה, שמשלימים אותה באפסים מובילים לארבע ספרות אם צריך, מכניסים שוב לאותה מכונה.

ננסה עם 3524. בסדר יורד: 5432. בסדר עולה: 2345. ההפרש הוא 3087. עכשיו שוב: 8730 פחות 0378 שווה 8352. ושוב: 8532 פחות 2358 שווה 6174. ומכאן והלאה שום דבר לא ישתנה, משום ש-7641 פחות 1467 הוא בדיוק 6174 עצמו.

אפשר לנסות עם 1000, עם 9998, עם שנת הלידה שלכם או עם ארבע הספרות האחרונות של מספר הטלפון. התוצאה זהה תמיד: כולם נופלים אל 6174, ורובם המכריע עושים זאת בתוך שלושה או ארבעה צעדים בלבד. המספר הזה קיבל את השם קבוע קפרקר.

השאלה: מדוע כל מספר בן ארבע ספרות, למעט אלה שכל ספרותיהם שוות, חייב להגיע אל 6174? מדוע לעולם לא יידרשו לכך יותר משבעה צעדים - ומה קורה כשמריצים את אותו תהליך על מספרים בני שלוש ספרות?

רמז דק

אל תחשבו על המספר עצמו אלא רק על אוסף הספרות שלו. שימו לב שהסידור בסדר יורד ובסדר עולה מוחק לחלוטין את הסדר המקורי: 3524, 5342 ו-2453 יובילו כולם בדיוק לאותה תוצאה. השאלה הראשונה שכדאי לשאול היא כמה אוספי ספרות שונים כאלה בכלל קיימים.

ורמז שני: נסו לחשב את ההפרש באופן כללי, כשהספרות בסדר יורד מסומנות באותיות.

רמז עבה

סמנו את הספרות בסדר יורד a, b, c, d, כך ש-a הגדולה ביותר ו-d הקטנה ביותר. המספר הגדול הוא 1000a ועוד 100b ועוד 10c ועוד d, והמספר הקטן הוא 1000d ועוד 100c ועוד 10b ועוד a. חסרו אותם זה מזה ותקבלו ביטוי שתלוי רק בשני הפרשים: a פחות d, ו-b פחות c.

אם התוצאה תלויה רק בשני הפרשים האלה, כמה תוצאות שונות בכלל אפשריות אחרי הצעד הראשון?

פתרון

המפתח הוא שהתהליך אינו תלוי בסדר הספרות אלא רק באוסף שלהן. מספר בן ארבע ספרות מוגדר לענייננו על ידי בחירה של ארבע ספרות מתוך עשר, כשחזרות מותרות ואין חשיבות לסדר, ויש בדיוק 715 בחירות כאלה. מהן מסירים עשר שבהן כל הספרות זהות, ונשארות 705 אפשרויות בלבד. זהו מספר קטן דיו כדי לבדוק אותו במלואו - וזו בדיוק הבדיקה שקפרקר עשה.

אבל אפשר לקצר עוד. ההפרש בין הסידור היורד לסידור העולה שווה תמיד ל-999 כפול (a פחות d) ועוד 90 כפול (b פחות c). ההפרש a פחות d יכול לקבל ערך בין 1 ל-9, וההפרש b פחות c ערך בין 0 ל-a פחות d. סך הכול 54 צירופים אפשריים, ולכן אחרי הצעד הראשון יש פחות מששים תוצאות שונות בעולם כולו. כל אחת מהן מתחלקת ב-9, ובדיקה שלהן מראה שכל המסלולים מתנקזים אל אותו יעד.

ומדוע דווקא 6174? מפני שהוא נקודת השבת היחידה של הפעולה. הוא המספר היחיד בן ארבע ספרות, מלבד המקרה המנוון 0000, שסידור ספרותיו בסדר יורד פחות סידורן בסדר עולה מחזיר אותו עצמו: 7641 פחות 1467 שווה 6174. אין נקודות שבת נוספות ואין מעגלים מחזוריים. מכיוון שמספר המצבים סופי, התהליך חייב להיתקע במקום כלשהו - והמקום היחיד שבו אפשר להיתקע הוא 6174.

ומדוע שבעה צעדים? הבדיקה הממצה מראה שהמסלול הארוך ביותר מבין כל 705 האפשרויות אורכו שבעה צעדים. המספר 9831, למשל, זקוק לכל השבעה: 8442, ואז 5994, ואז 5355, ואז 1998, ואז 8082, ואז 8532, ורק אז 6174.

ומה עם שלוש ספרות? שם התמונה פשוטה עוד יותר: כל מספר תלת-ספרתי שאין בו שלוש ספרות זהות מתכנס אל 495, ולכל היותר בשישה צעדים. גם כאן 954 פחות 459 שווה 495. בארבע ספרות ובשלוש ספרות יש קבוע יחיד; בחמש ספרות, לעומת זאת, אין אף קבוע - התהליך נכנס שם למעגלים מחזוריים, והסדר היפה הזה נשבר.