למה שכל שלושת החתכים יעברו דווקא דרך אותה נקודה? נקודת מפגש משותפת היא בזבוז - היא גורמת לשלושת החתכים "לחלוק" את אותה הצטלבות.

נסו לשרטט על דף שלושה קווים ישרים כך שכל שניים ייפגשו, אבל לא כל השלושה באותה נקודה, וספרו את האזורים.

עד כאן חשבתם על העוגה כאילו היא ציור שטוח על דף. אבל עוגה אמיתית אינה עיגול - יש לה גובה.

ואם יש לה גובה, מי אמר שכל חתך חייב לרדת מלמעלה למטה?

התשובה: שמונה חתיכות.

וכך עושים זאת:

חתך ראשון - אנכי, מלמעלה למטה, וחוצה את העוגה לשניים.

חתך שני - אנכי גם הוא, בניצב לראשון. עכשיו יש ארבע חתיכות.

חתך שלישי - אופקי, במקביל לשולחן, בדיוק באמצע גובה העוגה. הוא חוצה בבת אחת את כל ארבע החתיכות לקומה עליונה וקומה תחתונה: 4 × 2 = 8.

ואם אסור לחתוך אופקית?

אם מגבילים את עצמנו לחתכים אנכיים בלבד - כלומר החידה באמת מתרחשת במישור - התשובה הטובה ביותר היא שבע.

כדי להגיע לשבע צריך ששלושת הקווים יהיו במצב כללי: כל שניים נחתכים, ואף שלושה אינם נפגשים בנקודה אחת. אז נוצרים במרכז משולש קטן, ומסביבו שש חתיכות נוספות.

החוקיות הכללית

מספר האזורים המרבי שאפשר לקבל במישור עם n קווים ישרים הוא:

1 + n(n+1)÷2

עבור קו אחד - 2 אזורים. עבור שניים - 4. עבור שלושה - 7. עבור ארבעה - 11, ועבור חמישה - 16.

ההיגיון פשוט: הקו ה-n חוצה את n-1 הקווים הקודמים ולכן מתחלק ל-n קטעים, וכל קטע כזה מפצל אזור קיים לשניים - כלומר מוסיף בדיוק n אזורים חדשים.

למה החידה מטעה

שתי הנחות סמויות עומדות בדרך: שכל החתכים חייבים להיפגש במרכז, ושהעוגה היא בעצם עיגול שטוח. ברגע שמוותרים על שתיהן, המספר קופץ משש לשמונה - ואף כלל לא הופר.