אל תספרו הכול בבת אחת. ספרו לפי גודל: כמה ריבועים בגודל אחת על אחת יש? כמה בגודל שתיים על שתיים? נסו לחשוב על הפינה השמאלית העליונה של הריבוע - כמה מיקומים אפשריים יש לה?

ריבוע בגודל k על k יכול להתחיל ב-(9 פחות k) מיקומים לאורך השורות, וב-(9 פחות k) מיקומים לאורך העמודות. סכמו את המכפלה על כל הגדלים מ-1 עד 8. לגבי המלבנים, חשבו אחרת לגמרי: לוח שמונה על שמונה מורכב מתשעה קווים אנכיים ותשעה קווים אופקיים. כל בחירה של שני קווים מכל סוג מגדירה מלבן אחד בדיוק.

נספור לפי גודל. ריבוע בגודל k על k נקבע לחלוטין על ידי מיקום פינתו השמאלית העליונה. פינה זו יכולה לשבת בכל אחת מ-(9 פחות k) העמודות הראשונות ובכל אחת מ-(9 פחות k) השורות הראשונות, ולכן יש (9 פחות k) בריבוע ריבועים בגודל זה.

נציב את כל הגדלים: ריבועים בגודל 1 - 64. בגודל 2 - 49. בגודל 3 - 36. בגודל 4 - 25. בגודל 5 - 16. בגודל 6 - 9. בגודל 7 - 4. בגודל 8 - 1.

הסכום הוא 64 ועוד 49 ועוד 36 ועוד 25 ועוד 16 ועוד 9 ועוד 4 ועוד 1, כלומר 204 ריבועים.

שימו לב שקיבלנו את סכום הריבועים של שמונת המספרים הראשונים. הנוסחה הכללית ללוח n על n היא לכן n כפול (n ועוד 1) כפול (2n ועוד 1) חלקי 6. עבור n שווה ל-8: 8 כפול 9 כפול 17 חלקי 6, שהם 204. מספרים מן הסוג הזה נקראים מספרי פירמידה ריבועית, מפני שהם סופרים כדורים שאפשר לערום בפירמידה בעלת בסיס ריבועי.

ולמלבנים - כאן הספירה קלה עוד יותר, בתנאי שמסתכלים על הקווים ולא על המשבצות. בלוח שמונה על שמונה יש תשעה קווים אנכיים ותשעה קווים אופקיים. כל מלבן נקבע באופן חד ערכי על ידי בחירת שני קווים אנכיים ושני קווים אופקיים. מספר הדרכים לבחור שניים מתוך תשעה הוא 36, ולכן מספר המלבנים הוא 36 כפול 36, כלומר 1296.

מתוכם 204 הם ריבועים, ולכן יש 1092 מלבנים שאינם ריבועים. וכך שאלה שנראתה כמו ספירה של 64 משבצות מסתיימת ב-1296.