צילום: Medium69 (William Crochot), Wikimedia Commons (CC BY-SA 4.0)
דמיינו גלגל עגלה עשוי עץ. לחישוק החיצוני שלו רדיוס גדול, ובמרכזו טבור עגול וקטן - שני מעגלים בגדלים שונים, מחוברים זה לזה בקשיחות מוחלטת וסובבים תמיד יחד.
מגלגלים את הגלגל על הכביש סיבוב שלם אחד בדיוק, מנקודה לנקודה, בלי החלקה.
החישוק החיצוני עשה סיבוב מלא, ולכן הגלגל התקדם מרחק ששווה בדיוק להיקפו - נניח שני מטרים.
אבל עכשיו הסתכלו על הטבור הקטן. גם הוא, כמובן, עשה בדיוק סיבוב אחד - הרי הוא מחובר לחישוק. וגם הוא, יחד עם כל הגלגל, התקדם בדיוק שני מטרים. יתרה מזו, אפשר להתאים לכל נקודה על הטבור בדיוק נקודה אחת על החישוק, לפי הרדיוס שמחבר ביניהן - התאמה חד-חד-ערכית מושלמת.
ואם כך, נדמה שהטבור פרש לאורך הדרך קו באורך שני מטרים - למרות שהיקפו שלו הוא אולי חצי מטר בלבד.
השאלה: היכן בדיוק נשברת השרשרת הזאת של הנימוקים?
סמנו בטוש נקודה אחת על הטבור, ועקבו אחריה בעיניים לאורך כל הסיבוב. שאלו את עצמכם שאלה אחת: על מה בדיוק הטבור מתגלגל?
שני נימוקים שונים לגמרי משמשים כאן זה לצד זה. הראשון טוען שהטבור התקדם שני מטרים, והוא נכון. השני טוען שההתקדמות הזאת שווה להיקפו, והוא זה שצריך הצדקה - הצדקה שקיימת רק כאשר גוף מתגלגל בלי להחליק. בדקו אם התנאי הזה מתקיים עבור הטבור.
הטבור אינו מתגלגל. הוא מחליק.
רק מעגל אחד בכל המערכת מקיים גלגול טהור - החישוק החיצוני, שנוגע בכביש. עבורו, ורק עבורו, נכון הכלל "מרחק שווה להיקף", כי בכל רגע נקודת המגע שלו עם הכביש נמצאת במנוחה רגעית.
מה קורה לטבור באמת
הטבור אינו נוגע בשום משטח. אם נצמיד לו משטח דמיוני משלו - למשל מסילה בגובה הטבור - נגלה שהוא גורר את עצמו לאורכה: נקודת המגע שלו נעה קדימה ביחס למסילה במקום להיות רגעית במנוחה. הוא מבצע שילוב של סיבוב והחלקה, ולכן הוא באמת חוצה מרחק גדול מהיקפו - בדיוק כמו גלגל של מכונית שנתקעה בבוץ, רק בכיוון ההפוך.
איך זה נראה בעין
נקודה על החישוק מציירת בתנועה עקומה שנקראת ציקלואידה. בכל סיבוב היא נעצרת לרגע לגמרי - ברגע המגע עם הכביש - ומשם מזנקת קדימה.
נקודה על הטבור מציירת עקומה אחרת לגמרי, ציקלואידה מקוצרת. היא לעולם אינה נעצרת, אין לה נקודות חוד, והיא מתקדמת ברציפות. שתי העקומות מספרות סיפור אחר, וזה כל ההבדל.
והמלכודת השנייה: התאמה בין נקודות אינה מודדת אורך
הטענה שלכל נקודה על הטבור מתאימה נקודה על החישוק נכונה לחלוטין - ואינה מוכיחה דבר על אורך. קטע באורך סנטימטר וקטע באורך קילומטר מכילים בדיוק אותו מספר נקודות, במובן המדויק שנתן לכך גאורג קנטור בסוף המאה ה-19: אפשר להתאים ביניהן התאמה חד-חד-ערכית ועל.
אורך אינו ספירה של נקודות. הוא מידה, ומידה יכולה להיות שונה לחלוטין בין שתי קבוצות שוות עוצמה.
קצת היסטוריה
הפרדוקס מופיע לראשונה בחיבור היווני "מכניקה" שיוחס במשך מאות שנים לאריסטו, ומכאן שמו. גלילאו גליליי חזר אליו בספרו "שיח על שני מדעים חדשים" מ-1638 והציע לנתח אותו באמצעות מצולעים בעלי מספר צלעות הולך וגדל - וכך הבחין בפערים הזעירים שהמעגל הפנימי מדלג עליהם. הפתרון המלא הגיע רק עם המושגים המודרניים של גלגול בלי החלקה ושל עוצמת קבוצות אינסופיות.
תגובות
- לא נמצאו תגובות
Post comment as a guest