צילום: Raimond Spekking, Wikimedia Commons (CC BY-SA 4.0)

יש מספרים שמספרים סיפור, ויש מספר אחד שמספר את הסיפור של עצמו.

אנחנו מחפשים מספר בן עשר ספרות בדיוק. נסמן את הספרות שלו, משמאל לימין, במקומות 0 עד 9. הכלל היחיד הוא זה:

הספרה שבמקום 0 אומרת כמה אפסים יש במספר כולו. הספרה שבמקום 1 אומרת כמה אחדים יש בו. הספרה שבמקום 2 אומרת כמה שתיים יש בו - וכך הלאה, עד המקום התשיעי שאומר כמה תשיעיות יש בו.

נמחיש על מספר קצר יותר. ניקח את המספר 1210 (ארבע ספרות, מקומות 0 עד 3):

במקום 0 יש 1 - ואכן במספר יש אפס אחד. במקום 1 יש 2 - ואכן יש בו שני אחדים. במקום 2 יש 1 - ואכן יש בו שתיים אחת. במקום 3 יש 0 - ואכן אין בו אף שלוש. המספר מתאר את עצמו במדויק.

עכשיו נסו לעשות את אותו הדבר עם עשר ספרות. הספרה הראשונה חייבת להיות שונה מאפס - זהו מספר בן עשר ספרות, לא תשע.

השאלה: מהו המספר? ואיך מוצאים אותו בלי לעבור על מיליארד אפשרויות?

רמז דק

לפני שמנחשים, ספרו. יש כאן עשר ספרות שכל אחת מהן סופרת משהו. חשבו מה מקבלים כשמחברים את כל עשר הספרות של המספר - ולמה התוצאה חייבת לצאת מספר מסוים אחד ויחיד.

רמז עבה

שתי עובדות מצמצמות את החיפוש כמעט לגמרי:

עובדה ראשונה: סכום כל עשר הספרות שווה בדיוק 10. הסיבה: כל ספרה במספר "נספרת" בדיוק פעם אחת על ידי אחת הספרות, ולכן סכום הספירות הוא מספר הספרות - כלומר 10.

עובדה שנייה: אם סכום הספרות הוא 10 ויש כאן עשר ספרות, רוב הספרות חייבות להיות אפסים. ומכיוון שהספרה במקום 0 סופרת בדיוק את האפסים האלה, היא בהכרח גדולה.

התחילו מלנחש שהמקום ה-0 מכיל 6, ובדקו לאן זה מוביל.

פתרון

התשובה: 6210001000

נבדוק ספרה אחר ספרה. הספרות הן: 6, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0.

מקום 0 - הספרה 6: כמה אפסים יש במספר? הם יושבים במקומות 3, 4, 5, 7, 8, 9 - שישה אפסים. נכון.

מקום 1 - הספרה 2: כמה אחדים יש? במקומות 2 ו-6 - שני אחדים. נכון.

מקום 2 - הספרה 1: כמה שתיים יש? רק זו שבמקום 1. נכון.

מקומות 3, 4, 5 - הספרה 0: אין במספר אף שלוש, אף ארבע ואף חמש. נכון.

מקום 6 - הספרה 1: כמה שישיות יש? רק זו שבמקום 0. נכון.

מקומות 7, 8, 9 - הספרה 0: אין במספר שבע, שמונה או תשע. נכון.

המספר מתאר את עצמו במלואו, בלי סתירה אחת.

איך מגיעים אליו בלי ניחושים?

נתחיל מהאילוץ החזק: סכום הספרות הוא 10. ההסבר קצר - כל אחת מעשר הספרות של המספר שייכת בדיוק לקטגוריה אחת (היא אפס, או אחד, או שתיים...), וכל ספרה במספר סופרת בדיוק קטגוריה אחת. לכן סכום כל הספירות הוא מספר האיברים שנספרו - כלומר 10.

מכאן נובע מיד שרוב הספרות שוות אפס: אם סכום עשר ספרות הוא רק 10, לא נשאר מקום לספרות גדולות רבות. נסמן ב-k את מספר האפסים במספר. הספרה שבמקום 0 חייבת להיות בדיוק k, ומספר הספרות שאינן אפס הוא 10 פחות k - וסכומן חייב להיות 10.

אם k קטן מדי, יהיו הרבה ספרות שאינן אפס וסכומן יעלה על 10. אם k גדול מדי, הספרה במקום 0 תהיה גדולה ותסתור את עצמה. הבדיקה מצמצמת את k לשלוש אפשרויות בלבד - 5, 6 ו-7 - ורק k=6 שורד עד הסוף. מרגע שקבענו שהספרה הראשונה היא 6, שאר הספרות נגררות כמעט מאליהן.

עוד עובדה יפה: מספרים כאלה נקראים מספרים אוטוביוגרפיים. הם קיימים רק בבסיסים מסוימים, ובבסיס עשר קיים בדיוק אחד כזה בן עשר ספרות - זה שמצאנו. בבסיסים אחרים יש להם בני דודים: בבסיס ארבע, למשל, המספר 1210 שראינו בפתיחה הוא בדיוק כזה גם בבסיס עשר.

ומעניין במיוחד: לא קיים מספר אוטוביוגרפי בן שתי ספרות, ולא בן שלוש, ולא בן שש - אבל כן בני ארבע, חמש, שבע, שמונה, תשע ועשר.