אם המשקל זהה ובכל זאת החומר שונה, סימן שיש גודל אחר שכן משתנה.

שאלו את עצמכם: מה עוד אפשר למדוד בגוף מוצק, מלבד כמה הוא שוקל?

כסף קל בהרבה מזהב ביחס לנפח שהוא תופס. לכן כדי להגיע לאותו משקל, נדרשת כמות כסף שתופסת יותר מקום.

המסקנה: כתר מזויף חייב להיות גדול יותר בנפחו מכתר זהב טהור באותו משקל - גם אם ההבדל אינו נראה לעין.

ואיך מודדים נפח של גוף בעל צורה מסובכת, בלי לפגוע בו? חשבו מה קורה כשנכנסים לאמבטיה מלאה.

התשובה: משווים את הנפח, לא את המשקל - ואת הנפח מודדים לפי כמות המים שהגוף דוחה.

לכל חומר יש צפיפות משלו, כלומר מסה ליחידת נפח. צפיפות הזהב היא כ-19.3 גרם לסנטימטר מעוקב, וצפיפות הכסף כ-10.5 בלבד - פחות ממחצית.

נניח שהכתר שוקל קילוגרם אחד. אם הוא זהב טהור, נפחו יהיה 1000 חלקי 19.3, כלומר כ-51.8 סנטימטרים מעוקבים.

אבל אם הצורף החליף שלושים אחוזים מהמשקל בכסף, החישוב משתנה: 700 גרם זהב תופסים כ-36.3 סמ"ק, ו-300 גרם כסף תופסים כ-28.6 סמ"ק. יחד - כ-64.9 סמ"ק.

הפרש של כ-13 סנטימטרים מעוקבים, שהם יותר מרבע מנפחו של כתר זהב טהור. הפרש כזה בהחלט אפשר למדוד.

וכאן נכנסת התובנה שהפכה למפורסמת: כאשר גוף שוקע במים, הוא דוחה כמות מים ששווה בדיוק לנפחו. די אפוא למלא כלי במים עד השפה, להטביע בו את הכתר, ולאסוף את המים שנשפכו.

אחר כך חוזרים על אותה פעולה עם גוש זהב טהור באותו משקל בדיוק. אם הכתר דחה יותר מים - הוא אינו זהב טהור.

יש גם גרסה מדויקת אף יותר, המבוססת על עקרון הציפה עצמו: תולים את הכתר בקצה אחד של מאזניים ואת גוש הזהב בקצה השני, ומטביעים את שניהם במים. באוויר הם מאוזנים, אך במים הגוף הגדול יותר בנפחו סופג כוח ציפה חזק יותר - והמאזניים ייטו לצד הזהב הטהור.

הצעקה "אוריקה!" - "מצאתי!" - שמיוחסת לארכימדס באותו רגע, נותרה עד היום הביטוי המוכר ביותר לרגע של הארה מדעית.