על האסירים לחפש רמז בעל שתי אפשרויות כדי לקבל סימן על אחת משתי האפשרויות לצבע הכובע: אדום או כחול...

..הרמז-הקוד צריך להיות כזה שכל אסיר חוץ מהאחרון יוכל להגיד בודאות את צבע הכובע שעל ראשו וצבע זה יהיה גם הרמז לאסיר שלפניו על צבע הכובע שלו וכך הלאה. צריך לחשוב על תכונה דואלית של מספרים...

על האסירים להחליט על קוד שאומר האם מספר הכובעים לפני האסיר שמכריז בתורו, הוא זוגי או אי זוגי כלפי צבע מסוים שנבחר לספירה. הרעיון המרכזי בבחירת זוגי ואי זוגי הוא ששינוי במספר הכובעים בעלי צבע מסוים במעבר מאסיר לאסיר יכול להיות רק בהפרש של אחד וזה אומר: מעבר ממספר זוגי לאי זוגי או מעבר ממספר זוגי לאי זוגי.נניח שהאסירים מחליטים שהם יספרו את הכובעים האדומים של חבריהם הנמצאים לפניהם. אם מספר הכובעים זוגי אז האסיר שסופר יאמר כחול כחול ואם מספרם אי זוגי יאמר אדום. האסירים נעמדים זה מאחורי זה והאסיר האחרון סופר את הכובעים האדומים. נניח שמספרם זוגי ואז הוא אומר "הכובע שלי כחול" . האסיר שלפניו מבין שמספר הכובעים האדומים שספר האסיר שמאחוריו הוא זוגי והוא סופר את הכובעים שלפניו. אם גם מספר הכובעים שספר הוא זוגי הוא מבין שמספר הכובעים האדומים לא השתנה ולכן כובעו כחול והוא אומר "כובעי כחול" וצודק. אבל אם מספר הכובעים שספר לפניו הוא איזוגי הוא מבין שמספר הכובעים האדומים השתנה באחד מהספירה של חברו מאחור ולכן על ראשו כובע אדום והוא אומר :"כובעי אדום". כך כל אסיר שומע את הצבע שמכריז האסיר שמאחוריו ומבין אם מספר הכובעים האדומים שראה חברו הוא זוגי או אי זוגי. אחר כך הוא סופר בעצמן ובודק אם המספר נשאר באותה תכונה או השתנה מזוגי לאי זוגי או מאי זוגי לזוגי וכך יכול לדעת את הצבע של כובעו.

היחיד שתשובתו אינה ודאית זה האסיר האחרון בשורה שמנחש ראשון. סיכוייו חצי חצי אבל מנהל הכלא לא ישאיר אסיר אחד...