חלוקה נכונה

1359201_big_jars_of_clayאסיר שנידון למוות קיבל הזדמנות לחנינה אם יוציא באקראי כדור לבן מאחד משני כדים שיבחר כאשר בכל כד יש הרכב של כדורים לבנים וכדורים שחורים. האסיר מקבל 100 כדורים לבנים ו-100 כדורים שחורים וניתנת לו האפשרות לחלק את הכדורים בין הכדים כרצונו.

כיצד עליו לחלק את הכדורים הלבנים והשחורים בין הכדים כך שאם יבחר להוציא כדור באקראי מאחד הכדים יהיו לו הסיכויים הגבוהים ביותר האפשריים להוציא כדור לבן?

 

נסו לחלק את הכדוריםבכמה דרכים ותראו איך משתנים הסיכויים להוציא כדור לבן...

הוספת תגובה

תגובות (22)

  • מל

    השאלה לא מנוסחת היטב.
    כפי שהיא כרגע כתובה - האסיר בחור את הכד, משמע אין אקראיות בבחירה. אחרת היה נאמר כפי שהשאלה טורחת לומר שאת לגבי הוצאת הכדור מהכד הנבחר. אז אם נצמד לניסוח הלקוי הרי שהבעיה פשוטה מידי. הלבנים בכד אחד והשחורים בשני והאסיר ראשי לבחור את הכד עם הכדורים הלבנים.

    כמובן שהשאלה בפורמט הנל לא ממש מעניינית, והכוונה היא שגם הכד יבחר באקראי. הבעיה היא בעייה מתמטית של סוף תיכון. לא חייבים דיפרנציאלי כי ההגיון יכול להוביל גם לפיתרון (של כמעט 75%)

    למשקיעים שרוצים הוכחה, הנה ההתחלה:
    נסמן את הכדים: X ו Y. נסמן את הכדורים הלבנים ב W והשחורים ב B
    על פי נוסחאת ההסתברות המותנה ההסתברות להוציא כדור לבן היא ההסתברות להוציא לבן מכד X כפול הסיכוי לבחור את כד X פלוס ההסתברות להוציא כדור לבן מכד Y כפול הסיכוי לבחור את כד Y.
    בחירת הכד היא חצי (אקראי) ולכן הסיכוי להוציא לבן הוא חצי מסכום הסיכויים של כל כד.
    בכד X נשים W לבנים ו B שחורים ולכן בכד Y יהיו W-100 לבנים ו B-100 שחורים.
    כל מה שנשאר לרשום את הסיכוי, לחבר, לעשות מכנה משותף ולקבל ביטוי עם W ו B שאפשר לגזור.
    הסיכוי להוציא כדור לבן מ X הוא: (P(w|X) = w/ (w+b
    הסיכוי להוציא כדור לבן מ Y הוא: (P(w|Y) = (100-w)/ (100-w + 100-b
    סוכמים ומחלקים ב-2. מן הסתם חלוקה ב 2 לא משפיע על ערכי מינ-מקס.
    נקבע את w כערך ארביטררי ונקבל משוואה של b אותה אפשר לגזור.
    מבט קל במשוואה יראה ש הביטוי יגדל כש b יקטן. אם נזכור ש b חייב להיות בין 0 ל 100 אז עבור ערך של אפס נקבל סיכוי מקסימלי.
    אתם מוזמנים לגזור ולבדוק, רק אל תשכחו שהמשוואה לא יכולה לטפל במקרה שבו כל הכדורים הלבנים ושהשחורים בכד אחד. זה אומר שבכד השני יש אפס כדורים. אם אתם רוצים פתרון מלא אז לא לעשות מכנה משותף בחישוב (כי הכפלה ב אפס מקלקלקת :-) )
    אחרי שרואים ש b צריך להיות 0 מציבים ומקבלים ביטוי ב w שגם אותו ניתן לגזור ולפתור. התוצאה תצא 1.
    בקיצור - 1=w ו 0=b כפי שכתבו כבר כמה וכמה כאן למעלה..

    כתובת URL מקוצרת:
  • ראם

    צריכים שהכדורים הלבנים יהא למעלה וזהו
    לא צריכים

    כתובת URL מקוצרת:
  • בינה

    אני חושבת שצריך לשים בכד א׳ 50 כדורים שחורים ו50 כדורים לבנים ובכד ב׳ אותו דבר ואז אין סיכוי שיוציא כדור שחור

    כתובת URL מקוצרת:
  • שחר

    אם חייבים שבכל כד יהיו כדורים משני הסוגים אז כדאי לשים בכד א 17 כדורים לבנים ואחד שחור ובכד ב 83 כדורים לבנים ו99 שחורים. במקרה זה ההסתברות לחנינה היא 70.024% .
    אם אפשר שבאחד הכדים לא יהיו כדורים שחורים אז כדאי בכד אחד לשים כדור לבן אחד בלבד ובכד השני את כל שאר הכדורים.במקרה זה ההסתפרות לחנינה היא 74.874%.

    כתובת URL מקוצרת:
  • תומר

    אסור 100 לבנים ומאה שחורים כי חייבים שבכל כד יהיה את שתיהם, אז 99 שחורים ולבן 1 ובכד השני הפוך, כך שהסיכוי הגבוהה ביותר הוא :99%

    כתובת URL מקוצרת:
  • לוגיקן

    כיוון שלאסיר ניתנת האפשרות לבחור מאיזה כד יבחר ( הכדור נבחר באקראי לא הכד, ומדובר על אחד הכדים לכן מספיק שבאחד הכדים יהיה הסיכוי הגבוה ביותר ) על האסיר לשים 100 כדורים לבנים באחד ו 100 שחורים באחר או על כמות שתיתן לכד אחד 100% הצלחה

    כתובת URL מקוצרת:
  • אמיר

    במצב זה יתקבל הסיכוי המקסימלי להוציא לבן: 0.5*1 + 0.5* 99/199 = 0.749

    כתובת URL מקוצרת:
  • גידי

    בכד אחד כדור שחור ושנים לבנים ובכד אחר 99 שחורים ו98 אדומים

    כתובת URL מקוצרת:
  • דביר

    ישים כדור לבן אחד בשק אחד ואת כל השאר בצד השני

    כתובת URL מקוצרת:
  • אפרת

    האם ניתנת לו האשרות לבחור את הכד ממנו ישלוף את הכדור או שגם זה באקראי, כלומר צריך להיכנס לחישוב כמו ש"בר 9" עשה?

    כתובת URL מקוצרת:
טען עוד



חדשות ועדכונים

רשות מקרקעי ישראל וגורמי אכיפה פעלו לפינוי 19 פלישות בלתי חו...
במסגרת מבצע אכיפה מיוחד כנגד תופעת הפלישה למקרקעי ציבור והבנייה הבלתי חוקית בנגב נהרסו ופונו 19 מבנים ופלישות, לאחר שהוקמו ע"י פולשים ברחבי...
אשדוד: מסיג גבול שהשתלט על  אדמת מדינה המיועדת לתעשיה והציב ...
מסיג הגבול, קבלן בתחום החשמל והתאורה בשירות עיריית אשדוד, שאותר לאחרונה ע"י מפקחי רשות מקרקעי ישראל כאשר הוא פולש לאדמות המדינה, נאלץ לפנות...
מכתב אישי: "יצחק תשובה, אתה חי לחוף הים התיכון, הרחק את...
היזם יצחק תשובה מסכן את חיי התושבים לחוף הים כאשר הוא מציב את אסדות הגז הטבעי של מאגר "לווייתן" 10 קילומטר מהחוף –...
גננות נדרשות להגיע לכנסים ללא תשלום - בניגוד לחוק
הגננות נדרשות להגיע לכנסים והשתלמויות מקצועיות ולשהות בהם ללא כל תמורה ופיצוי – לכאורה בניגוד לחוק. כך עולה ממכתב ששלחו עורכות הדין ורד...
התחלה חדשה: הגן הסולארי עבר למתחם חדש
הגן הסולארי בבנימינה – פינת חמד ומרכז ההדרכה המוביל בישראל לאיכות הסביבה ולקיימות – יצא בסוף השבוע האחרון לדרך חדשה ונפתח מחדש במקום...
קבלן בניין – מהו רישיון קבלן?
הבית שלנו לרבים אם לא לכולם הוא הדבר החשוב ביותר שיש. אנו משקיעים בבית שלנו משאבים עצומים ועושים הכול בכדי שהוא יהיה היפה...