שתי מלכודות מסתתרות בניסוח. הראשונה: אתם מניחים באופן אוטומטי שהקבוצות צריכות להיות בנות חמישים מטבעות כל אחת. זה לא נדרש. השנייה: אתם מנסים לזהות מטבעות, בעוד שההרשאה החשובה באמת שקיבלתם היא ההרשאה להפוך אותם.

נסו לחשוב מה קורה לערימה שלמה כשהופכים את כל המטבעות שבה בבת אחת.

הפרידו ערימה שגודלה בדיוק עשרים מטבעות - כמספר מטבעות ה"עץ" שיש בסך הכול. סמנו ב-k את מספר מטבעות ה"עץ" שנקלעו לערימה הזאת במקרה. אינכם יודעים מהו k, וזה בסדר גמור.

כמה מטבעות "עץ" נשארו בערימה הגדולה? וכמה מטבעות "פלי" יש בערימה הקטנה? עכשיו הפכו את כל הערימה הקטנה ובדקו מה קרה.

האסטרטגיה: הפרידו באקראי, במגע יד בלבד, ערימה של עשרים מטבעות. הפכו את כל עשרים המטבעות שבה. זהו. שתי הערימות מכילות כעת בדיוק את אותו מספר מטבעות "עץ".

ההוכחה קצרה. נניח שבערימה הקטנה נקלעו k מטבעות "עץ". מכיוון שבסך הכול יש עשרים מטבעות "עץ", בערימה הגדולה נשארו 20 פחות k מטבעות כאלה. בערימה הקטנה יש עשרים מטבעות בסך הכול, ולכן מספר מטבעות ה"פלי" שבה הוא 20 פחות k.

עכשיו הופכים את כל הערימה הקטנה. כל מטבע "פלי" שבה הופך ל"עץ" וכל "עץ" הופך ל"פלי". מספר מטבעות ה"עץ" בערימה הקטנה שווה כעת למספר מטבעות ה"פלי" שהיו בה קודם, כלומר 20 פחות k - בדיוק כמו בערימה הגדולה. השוויון מתקיים תמיד, לכל ערך אפשרי של k, ולכן האסטרטגיה עובדת בוודאות ולא בהסתברות.

שימו לב עד כמה הפתרון חסין: הוא אינו תלוי במספר המטבעות הכולל, ואפילו לא בגודל החדר או בשאלה כמה זמן חיטטתם בערימה. הכלל הכללי הוא פשוט - אם ידוע שיש בדיוק h מטבעות "עץ" מתוך n מטבעות, הפרידו h מטבעות והפכו את כולם.

וכדאי לשים לב לשורש העמוק יותר: הפעולה "הפוך את כולם" ממירה ספירה של "עץ" בספירה של "פלי". אנחנו לא יודעים כמה "עץ" יש בערימה הקטנה, אבל אנחנו כן יודעים בוודאות את סכום שני המספרים - וזה כל מה שדרוש. חידות רבות מסוג זה נפתרות בדיוק כך: לא על ידי גילוי המידע החסר, אלא על ידי בניית פעולה שהמידע החסר מתבטל בה מאליו.